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Sur le problème de Dirichlet généralisé. Equations non linéaires à \(m\) variables. (French) JFM 52.0483.01

Die erste Randwertaufgabe der Potentialtheorie wird sinngemäß auf eine lineare partielle Differentialgleichung vom elliptischen Typus in \(m\) reellen oder komplexen Veränderlichen erweitert und in bekannter Weise durch Zurückführung auf eine lineare Integralgleichung gelöst. Die Idee der Lösung ist dieselbe wie in der Potentialtheorie, die Durchführung natürlich mit Rücksicht auf die erhöhte Dimensionszahl bedeutend verwickelter. Diese Lösung wird verwendet, um mit ihrer Hilfe dieselbe Fragestellung für eine nichtlineare Differentialgleichung derselben Art zu beantworten, wobei die von Picard im Falle von zwei Veränderlichen eingeführte Methode der aufeinanderfolgenden Näherungen benützt wird. Auch hier liegt die Schwierigkeit nicht darin, eine neue Methode, sondern, dem mehrdimensionalen Fall entsprechend, passende Abschätzungen zu finden, die später zum Beweis der Konvergenz der verwendeten Näherungen gebraucht werden. Die nichtlineare Gleichung wird in folgender Weise auf eine lineare zurückgeführt: \(v\) sei eine Näherung für die unbekannte Funktion \(u\), dann setzt man \(u = v + h\), entwickelt nach Potenzen von \(h\) und seiner Ableitungen und behält nur den linearen Teil. Dadurch erhält man eine lineare Näherungsdifferentialgleichung für \(h\). Von ihr bestimmt man eine Lösung \(h_1\) mit den Randwerten \(u-v\) und betrachtet \(v+h_1\) als zweite Näherung. Da in der Arbeit fortwährend Integrale über mehrdimensionale reelle oder komplexe Bereiche auftreten, werden die notwendigen Begriffe und Formeln in einem einleitenden Abschnitt zusammengestellt.

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Full Text: DOI Numdam EuDML