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Ein Gegenstück zum Ritz’schen Verfahren. (German) JFM 52.0483.02

Verhandlungen Kongreß Zürich 1926 (1927), 131-137 (1927).
“Wenn zur Lösung der ersten Randwertaufgabe partieller Differentialgleichungen das sogenannte “Ritzsche Verfahren” benutzt wird, welches die Minimaleigenschaften der Lösung zu ihrer zahlenmäßigen Darstellung heranzieht, so ist das naturgemäße Maß für die Güte der Annäherung der Betrag, um welchen das für die Näherungsfunktion berechnete Minimalintegral von dem für die wahre Lösung erreichten Minimalwerte abweicht. Das Ritzsche Verfahren liefert aber zunächst keine Möglichkeit, diese Abweichung zu bestimmen oder wenigstens in Grenzen einzuschließen, denn da alle Näherungswerte für das Minimalintegral zu groß sind, wird für den wahren Wert desselben nur eine obere, aber keine untere Grenze gefunden. – Es ist das Ziel der folgenden Betrachtungen, ein Analogon zum Ritzschen Verfahren aufzuzeigen, durch welches der Wert des Minimalintegrals von unten approximiert wird, so daß durch das Verfahren von Ritz einerseits und das neue Verfahren andererseits das Minimalintegral in Grenzen eingeschlossen wird. Für die praktische Rechnung ist das in allen Fällen von besonderer Wichtigkeit, wo es in erster Linie auf den Wert dieses Integrals ankommt. – Der Einfachheit wegen lege ich meine Methode am Beispiel der ersten Randwertaufgabe der ebenen Potentialtheorie dar, sie läßt sich ohne weiteres auf andere Differentialgleichungen übertragen.”
Verf. approximiert die gesuchte Potentialfunktion \(u\) durch eine Summe \(w\) von Potentialfunktionen \(p_h\) \[ w(x,y)=\sum_1^n c_hp_h(x,y) \] und bestimmt die Koeffizienten \(c\) aus der Bedingung, daß das Integral über das Quadrat des Fehlergradienten \[ F=\iint \operatorname{grad}^2(w-u)dxdy \] möglichst klein wird. Es folgt hieraus, wie Verf. zeigt, für die Bestimmung der Koeffizienten folgendes lineare Gleichungssystem: \[ \sum_{\varrho=1}^n c_{\varrho}\int p_{\varrho} \frac{\partial p_h}{\partial \nu}ds= \int g(s)\frac{\partial p_h}{\partial n}ds\qquad (h=1,\ldots,n) \] (\(\nu=\) äußere Normalenrichtung der Randkurve, \(g (s) =\) vorgeschriebene Randwerte von \(u\)).
Verf. erbringt den Nachweis, daß bei dieser Art der Approximation das Dirichletsche Integral tatsächlich zu klein herauskommen muß.
Als Anwendungsbeispiel wird das Saint-Venantsche Torsionsproblem mit besonderer Rücksicht auf die naherungsweise Auflösung einiger technisch wichtiger Torsionsaufgaben bearbeitet. (IV 17, VI 4 A.)