Sur certaines équations aux derivées partielles se rattachant à un problème d’équilibre calorifique. (French) JFM 52.0485.02

Picard, E.

Annales École norm. (3) 43, 369-371 (1926); C. R. 183, 709-711 (1926).

Die Temperatur \(u(p,q)\) auf einer im thermischen Gleichgewicht befindlichen, nach außen strahlenden, geschlossenen Fläche genügt der Differentialgleichung \[ \varDelta u=c(p,q)\sqrt{g_{11}g_{22}-g_{12}^2}\cdot u, \tag{1} \] worin \(p\), \(q\) die Gaußschen. Flächenparameter, \(g_{ik}\) die Fundamentalgrößen erster Ordnung und \(\varDelta u\) den zweiten Beltramischen Differentiator bezeichnen. (1) gestattet eine auf der ganzen Fläche eindeutige und stetige Lösung \(u(p,q;p', q')\), die nur im Punkte \(p'\), \(q'\) eine logarithmische Singularität besitzt. Mittels \(u(p, q; p', q')\) läßt sich die Differentialgleichung \[ \varDelta v=\lambda\cdot c(p,q)\sqrt{g_{11}g_{22}-g_{12}^2}\cdot v \tag{2} \] auf eine lineare homogene Integralgleichung mit unendlichvielen Eigenwerten reduzieren.
Verf. nimmt nun eine geschlossene Fläche vom Geschlechte \(p\) an und drückt deren Punkte durch Fuchssche Funktionen von \(z=x+iy\) aus, die in der oberen Halbebene definiert sind; dann nimmt (1) die Form an \[ \frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}= \frac{c(x,y)}{y^2}\cdot u, \tag{3} \] worin \(c(x,y)\) bei den Substitutionen der zugehörigen Fuchsschen Gruppe invariant bleibt. (2) modifiziert sich analog, und die obige Methode überträgt sich sinngemäß, wobei die Fundamentallösung \(u(x,y; x', y')\) in \(x'\), \(y'\) und allen äquivalenten Punkten der Halbebene eine logarithmische Singularität aufweist und in \(x\), \(y\) die Substitutionen der Gruppe gestattet. Besonders einfach ist der Fall \(p=1\); dann wird die rechte Seite von (3) zu \(c(x, y) u\). Ist \(c\) konstant und sind die beiden Perioden bekannt, so läßt sich \(u(x,y; x', y')\) explizit hinschreiben.

Reviewer: Geppert, H., Prof. (Gießen)

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 13. Potentialtheorie. Theorie der partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus.