Sur les fonctions subharmoniques et leur rapport à la théorie du potentiel. (French) JFM 52.0497.05

Riesz, F.

Acta math. 48, 329-343 (1926).

Diese Arbeit bildet den ersten Teil einer ausführlichen Darstellung der vom Verf. in mehreren Vorträgen entwickelten Gedankengänge (1925; F. d. M. 51, 363 (JFM 51.0363.*)-364; Teil II ist 1930 erschienen und in JFM 56.0426.* besprochen). Die subharmonischen Funktionen werden definiert als Analoga in mehreren Veränderlichen zu den konvexen Funktionen einer Veränderlichen: Sie sind, etwa in der Ebene, charakterisiert durch die Eigenschaft, daß ihr Wert im Mittelpunkt eines beliebigen Kreises höchstens gleich ihrem Mittelwert auf der Peripherie ist; als Analoga der linearen erscheinen dann die harmonischen Funktionen. Der linearen Funktion, die die Werte einer vorgegebenen konvexen in irgend zwei Punkten annimmt, entspricht der wichtige Begriff der “besten harmonischen Majoranten” \(U^*(x,y)\) einer subharmonischen Funktion \(u(x,y)\) in bezug auf einen abgeschlossenen Teilbereich \(D'\) des Existenzbereiches von \(u\), d. i. diejenige unter allen in \(D'\) regulären harmonischen Funktionen \(U\) mit \(U \geqq u\), für die überall in \(D'\) \(U^* \leqq U\) für jedes \(U\) gilt. (An die Konkurrenzmenge der \(U\) müssen dabei vorläufig noch gewisse Bedingungen betr. das Verhalten auf dem Rande von \(D'\) gestellt werden.)
In diesem Zusammenhang ist ein Beispiel einer beschränkten, nur oberhalb halbstetigen subharmonischen Funktion interessant, da es bei den konvexen Funktionen einer Veränderlichen kein Analogon gibt.
Ist \(f(z)\) eine analytische Funktion, so ist \(|f(z)|^\alpha\) mit beliebigem positivem \(\alpha\) subharmonisch. Diese Tatsache ermöglicht durchsichtige Beweise der Hardyschen Sätze über die Betragmittel analytischer Funktionen (1915; F. d. M. 45, 1331 (JFM 45.1331.*)), sowie gewisse Verallgemeinerungen derselben; sie werden nämlich zurückgeführt auf analoge Sätze für subharmonische Funktionen: Ist \(u(x, y)\) subharmonisch in \(D\) und \(x_0\), \(y_0\) ein Punkt aus dem Innern von \(D\), so ist \[ I(r) =\frac 1{2\pi}\int\limits_0^{2\pi} u(x_0 + r\cos \varphi, y_0+r\sin \varphi)\,d\varphi \] eine wachsende Funktion von \(r\), solange der zugehörige Kreis in \(D\) bleibt. Ferner ist \(I(r)\) eine konvexe Funktion von \(\log r\) in jedem \(r\)-Intervall, dessen zugehöriger Kreisring ganz zu \(D\) gehört (auch wenn \((x_0, y_0) \not\in D\)). Diese Sätze lassen noch gewisse Verallgemeinerungen auf nicht von Kreisen berandete Gebiete zu.

Reviewer: Grunsky, H., Dr. (Berlin)

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 13. Potentialtheorie. Theorie der partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus.

Citations:

JFM 51.0363.*; JFM 56.0426.*; JFM 45.1331.*

References:

[1]	F. Riesz, Über subharmonische Funktionen und ihre Rolle in der Funktionentheorie und in der Potentialtheorie,Acta Univ. Franc. Jos., Szeged, t. 2 (1925), p. 87–100. · JFM 51.0363.03
[2]	F. Hartogs, Zur Theorie der analytischen Funktionen mehrerer unabhängiger Veränderlichen etc.,Math. Annalen, t. 62, p. 1–88. · JFM 37.0444.01
[3]	Cf. p. exE. Picard, Traité d’Analyse, t. II (2. édition, 1905), p. 95 et suiv. Cf. aussiO. Perron, Eine neue Behandlung der ersten Randwertaufgabe für {\(\Delta\)}u=0,Math. Zeitschrift, t. 18 (1923); p. 42–54;R. Remak, Über potentialkonvexe Funktionen,Math. Zeitschrift, t. 20 (1924), p. 126–130;T. Radó etF. Riesz, Über die erste Randwertaufgabe für {\(\Delta\)}u=0,Math. Zeitschrift, t. 22 (1925), p. 41–44. La méthode dont il s’agit dans ces travaux et qui est voisine de la méthode de balayage, dépend essentiellement de l’idée de fonction subharmonique.
[4]	J. L. W. V. Jensen, Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes,Acta math., t. 30 (1906), p. 175–193. · JFM 37.0422.02
[5]	En réalité, pour légitimer cette dénomination, on aurait à prouver que la fonctionU * est plus petite ou égale à toute fonction harmonique qui surpasse la fonctionu à l’intérieur deD’, indépendamment de l’allure de ces fonctions sur la frontière deD’. Dans bien des cas, ce fait se déduit aisément de nos résultats ultérieurs, mais je n’ai pas encore réussi à le démontrer dans toute sa généralité.
[6]	F. etR. Nevanlinna, Über die Eigenschaften analytischer Funktionen in der Umgebung einer singulären Stelle oder Linie,Acta Soc. sc. Fennicae, t. 50, n:o 5 (1922), p. 3–40;A. Ostrowski, Über die Bedeutung der Jensenschen Formel für einige Fragen der komplexen Funktionentheorie,Acta Univ. Franc. Jos. Szeged, t. 1 (1922), p. 80–87);R. Nevanlinna, Zur Theorie der meromorphen Funktionen,Acta math., t. 46 (1925), p. 1–99, où l’on trouve encore d’autres indications bibliographiques.
[7]	G. H. Hardy, On the mean value of the modulus of an analytic function, Proc. London Math. Soc., 2. série, t. 14 (1915), p. 269–277. · JFM 45.1331.03
[8]	F. Riesz, Sur les valeurs moyennes du module des fonctions harmoniques et des fonctions analytiques,Acta Univ. Franc.-Jos. Szeged, t. 1 (1922), p. 27–32. · JFM 48.1268.04
[9]	J. E. Littlewood, On inequalities in the theory of functions,Proc. London Math. Soc., 2. série, t. 22 (1923),Records, November 8th, 1923; t. 23 (1925), p. 481–519.
[10]	F. Riesz, Sur une inégalité de M. Littlewood dans la théorie des fonctions,Proc. London Math. Soc., 2. série, t. 23 (1924),Records, March 13th, 1924.
[11]	Indiquons en quelques mots une généralisation plus évidente, à laquelle on arrive par représentation conforme en partant de notre première généralisation du théorème de M. Hardy. Considérons une aire simplement connexe, formons la fonction de Green par rapport à un point intérieurO et désignons parC {\(\lambda\)} la ligne de niveau sur laquelle cette fonction prend constamment la valeur {\(\lambda\)}. Supposons que l’aire comprise entre \(C_{\lambda _1 } \) et \(C_{\lambda _2 } \) appartienne à notre domaineD et formons, pour toute valeur de {\(\lambda\)} comprise entre,{\(\lambda\)} 1 et{\(\lambda\)} 2, la meilleure majorante harmonique correspondant à notre fonction subharmoniqueu(x, y) et au domaine simplement connexe limité parC {\(\lambda\)} . Soitu({\(\lambda\)}) la valeur que prend cette fonction au pointO. Alors u({\(\lambda\)})sera une fonction convexe de la variable {\(\lambda\)}. Ce théorème s’étend au cas de plusieurs variables; dans ce cas, comme on ne peut plus se servir de la représentation conforme, on le démontre en partant de la formule de Green.