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Probleme aus der Theorie der Wärmeleitung. III: Der lineare Wärmeleiter mit beliebiger Anfangstemperatur. Die zeitliche Fortsetzung des Wärmezustandes. (German) JFM 52.0502.03

In der ersten Mitteilung (vgl. 1924; F. d. M. 50, 649 (JFM 50.0649.*)) wurde eine gewisse Randwertaufgabe für die partielle Differentialgleichung der linearen Wärmeleitung vermittelst Laplace-Transformation in Beziehung gesetzt zu der Randwertaufgabe, die totale Differentialgleichung \[ \frac {d^2\varphi}{dx^2}=s\varphi-\varPhi(x) \] zu integrieren unter den Randbedingungen: \(\varphi(x, s) \to a(s)\) für \(x \to 0\) von rechts; \(\varphi(x, s) \to b(s)\) für \(x \to c\) von links. -Es sei auch hier auf die (für Theorie und Praxis wichtige) Fassung der Randbedingungen hingewiesen, bei denen nicht, wie gewöhnlich, verlangt wird, daß \(\varphi(0,s) = a (s)\), sondern nur daß \(\varphi(x, s) \to a(s)\). (Analog bei der partiellen Differentialgleichung.)
Nachdem die Lösung des “homogenen” Problems (\(\varPhi(x)\equiv 0\)) in den Mitteilungen I und II (1925; F. d. M. 51, 365 (JFM 51.0365.*)) gegeben worden ist, wird nunmehr das inhomogene Problem behandelt. Neu und wichtig sind unter anderen die Ergebnisse bezüglich der Frage, ob und inwieweit sich ein Wärmezustand zeitlich zurückverfolgen läßt; diese Frage führt auf eine Integralgleichung erster Art (mit abgeschlossenem Kern). – Im einzelnen sei an Resultaten hier nur erwähnt:
1. Ist \(\varPhi(x)\) für \(0 < x < c\) definiert, in jedem Teilintervall eigentlich integrabel (im Riemannschen Sinne) und konvergiert das bis zu \(x = 0\) und \(x = c\) erstreckte uneigentliche Integral von \(\varPhi(x)\) absolut, so gibt es ein \(\varPhi(x,t)\) von folgender Eigenschaft: \(\varPhi(x,t)\) ist im Halbstreifen \(0 < x < c\), \(t > 0\) Lösung von \(\dfrac{\partial ^2\varPhi}{\partial x^2}=\dfrac{\partial \varPhi}{\partial t}\). Ist \(\varPhi(x)\) für \(x_0(0<x_0<c\)) stetig, so gilt: \(\varPhi(x_0, t) \to \varPhi(x_0)\) für \(t \to 0\). Bei festem \(t > 0\) gilt schließlich: \(\varPhi(x,t) \to 0\) für \(x \to 0\) und \(x \to c\). Es ist \(\varPhi(x, t)\) eindeutig bestimmt bis auf singuläre Lösungen (vgl. Mitteilung II).
2. Ein gegebener stetiger Temperaturzustand \(F(x)\) mit \(F(0) = F(c) = 0\) kann dann und nur dann singularitätenfrei um \(t_0\) rückwärts (“in die Vergangenheit”) fortgesetzt werden, wenn \(\sum\limits_{\nu=1}^\infty \left(e^{\nu^2\pi^2\frac{t_0}{c^2}} c_\nu\right)^2\) konvergiert, wobei die \(c_\nu\) die gewöhnlichen Fourierkoeffizienten der als ungerade fortgesetzten Funktion \(F(x)\) im Intervall \(\langle -c, +c\rangle\) sind. (VII 1.)

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