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A boundary value problem in the calculus of variations. (English) JFM 52.0509.02
Verf. geht von der Aufgabe aus, eine solche Funktion \(y(x)\) zu finden, die dem Integral \[ \int_{x_1}^{x_2} f(x, y, y^\prime) \, dx \] ein Minimum erteilt, wenn zur Konkurrenz alle stückweise stetig differenzierbaren Funktionen zugelassen sind, die zwei gegebene Kurven \(C_1\) und \(C_2\) verbinden. Notwendigerweise muß dann die zweite Variation, die sich zu \(L\eta^2 |_1^2 + \int\limits_{x_1}^{x_2} 2\omega (x, \eta, \eta^\prime) \, dx\) errechnet mit \(2\omega = f_{yy} \eta^2 + 2f_{yy^\prime} \eta \eta^\prime + f_{y^\prime y^\prime} \eta^{\prime 2}\) und einer durch die Transversalitätsbedingung gegebenen Funktion \(L\), größer oder gleich Null ausfallen. Daraus folgt analog dem Problem der festen Endpunkte, daß das Integral \[ I_2(\eta) = \int_{x_1}^{x_2} 2\varOmega \, dx \]
\[ \text{mit } 2\varOmega = \frac{d}{dx} \, L\eta^2 + 2\omega(x, \eta, \eta^\prime) = P(x) \eta^2 + 2Q(x) \eta \eta^\prime + R(x) \eta^{\prime 2} \] durch \(\eta\) zum Minimum gemacht werden muß. Diese Aufgabe ist der ursprünglichen völlig gleichartig, es muß aber die Jacobische Differentialgleichung \[ \varOmega_\eta - \frac{d}{dx} \varOmega_{y^\prime} = 0 \tag{"1)"} \] erfüllt sein, jedoch mit der Randbedingung \[ Q\eta + R\eta^\prime \, |_{x = x_1} = 0, \quad Q\eta + R\eta^\prime \, |_{x = x_2} = 0, \tag{"2)"} \] die aus der Transversalitätsbedingung folgt. Daraus erschließt man dann wie üblich die Jacobische Bedingung. Weiter erkennt man, wie bei festen Randpunkten, daß eine normierte Funktion \(\eta(x)\left(\int\limits_{x_1}^{x^2} \eta^2 \, dx = 1\right)\), die dem Integral \(I_2(\eta)\) ein Minimum erteilt, Lösung der Randwertaufgabe \(I(\eta) - \lambda\eta = 0\) bei der Randbedingung (2) sein muß. Umgekehrt ist die Randwertaufgabe auf das Minimumproblem zurückgeführt. (IV 10.)

Subjects:
Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 15. Variationsrechnung.
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