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Über das Gesetz der großen Zahlen. (German) JFM 52.0514.02
s sei \(p_n\) die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(E\), im \(n\)-ten Versuch einzutreffen, \(m (n)\) sei die Anzahl des Eintreffens von \(E\) in den ersten \(n\) Versuchen; ferner sei \[ \mu(n)=m(n)-\sum_1^np_i. \] Verf. stellt nun die Frage: Gibt es eine exakte obere Grenze \(\chi(n)\) für die Größenordnung der Funktion \(\mu(n)\), so daß für jedes Paar positiver Zahlen \(\delta\), \(\eta\) eine ganze Zahl \(n_0=n_0(\delta, \eta)\) existiert und mit einer Wahrscheinlichkeit \(>1-\eta\) behauptet werden kann:
1. Für alle \(n > n_0\) ist \(\dfrac{|\mu(n)|}{\chi(n)}<1+\delta\)
2. Für wenigstens ein \(n > n_0\) ist \(\dfrac{|\mu(n)|}{\chi(n)}>1-\delta\).
Verf. beweist nun den interessanten Satz: Sind alle \(p_\nu\) und \(1-p_\nu > a > 0\), so ist \[ \chi(n)=\sqrt{2\sum_1^np_i(1-p_i)\log\log n} \] in der Tat eine exakte obere Grenze der Abweichung \(\mu (n)\) im Sinne obiger Definition.

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