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Sur l’extension du théorème limite du calcul des probabilités aux sommes de quantités dépendantes. (French) JFM 52.0517.03
Die vorliegende Arbeit schließt sich an die des Verf. “Sur le théorème limite du calcul des probabilités” [Math. Ann. 85, 237–241 (1922; JFM 48.0599.02))] an und beschäftigt sich mit einigen Erweiterungen des ersten Fundamentalsatzes der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Im ersten Teil der Arbeit wird ein Beweis des genannten Satzes in der Fassung von A. Liapounoff gegeben [Mém. Acad. St. Petersbourg (8) 12, Nr. 5, 24 S. (1902; JFM 33.0248.07)], deren wesentlichster Zug darin besteht, daß die Kleinheit der einzelnen Summanden im Verhältnis zur Wurzel aus der mathematischen Erwartung des Quadrats der Summe gefordert wird.
Im zweiten, wichtigsten Teil wird der Anwendungsbereich des Hauptsatzes im Falle nicht unabhängiger Summanden untersucht. Hier interessiert eine praktisch wichtige Vereinfachung (z. B. Markoffsche Ketten): Es wird nur die Abhängigkeit genügend benachbarter und die Unabhängigkeit genügend entfernter Summanden gefordert. In diesem Falle gilt der Satz: Es genüge \(S_n=x_1+x_2+x_3+\cdots+x_n\) den Bedingungen:
1. \(B_n =\mathfrak M(S_n^2) > M\cdot n^s\) mit \(\lambda > \frac23\);
2. \(x_i\) und \(x_{i+g}\) seien unabhängig, wenn \(g > H\cdot n^\varrho\)  \(\left(\varrho < \dfrac\lambda2\right)\);
3. wie auch der Wert der bereits bekannten \(x_i\) sei, die mathematische Erwartung von \(|x_k^s|\) mit \(k > i\) bleibe kleiner als eine feste Zahl \(L\);
4. wie auch der Wert der bekannten \(x_i\) sei, sei für \(k > i\)
\[ \mathfrak M'(x_{k+1}+\ldots+x_{k+g})^2<N\cdot g^\lambda, \]
wenn \(\lambda\le1\) und
\[ \mathfrak M'(x_{k+1}+\cdots+x_{k+g})^2<N\cdot g\cdot n^{\lambda-1}, \]
wenn \(\lambda>1\).
Dann gilt: Die Wahrscheinlichkeit der Ungleichung
\[ z_0\cdot\sqrt{2B_n}<S_n<z_1\sqrt{2B_n} \]
geht im Limes mit \(n\) gegen
\[ \frac1{\sqrt\pi}\cdot\int\limits_{z_0}^{z_1}e^{-z^2}\,dz \]
\((M\), \(H\), \(N\) sind feste Zahlen). Im allgemeinsten Falle genereller Abhängigkeit der einzelnen Summanden gilt derselbe Satz, sofern folgende Voraussetzungen erfüllt sind: 1. Wie oben; 2. fällt weg; 3. wie oben; 4. wie auch der Wert bereits bekannter \(x_i\) sei, es gibt ein \(N\) derart, daß die Ungleichungen gelten:
\[ \mathfrak M'(x_{i+1}+\ldots+x_{i+g})^2<N g^\lambda \]
oder
\[ \mathfrak M'(x_{i+1}+\cdots+x_{i+g})^2<Ng n^{\lambda-1} \]
für jedes \(g\);
5. wie auch der Wert der bekannten \(x\) sei, ist für \(i - k> n^\varrho\) (wo \(\varrho<\dfrac\lambda2\) eine positive feste Zahl ist) die Schwankung der mathematischen Erwartung von \(x_i\) nicht größer als \(\dfrac1{n^\mu}\), wobei \(\mu=1-\dfrac\lambda2\), und ist ferner \(j-k>n^\varrho\), so überschreitet die Schwankung der mathematischen Erwartung von \(x_i\cdot x_j\) nicht \(\dfrac1{n^{2-\lambda}}\).
Im dritten Teil untersucht Verf. die Verallgemeinerungsfähigkeit der Hauptsätze bei einer Summe von zwei Summanden, deren jede aus \(n\) Summanden, die ganz oder teilweise abhängig sind, besteht. Das Ergebnis, das für die Theorie der Normalkorrelation und ihre Anwendung wichtig ist, ist, daß sich die Sätze sinngemäß übertragen lassen, sofern die Schwankung der mathematischen Erwartung des Produkts entsprechender Summanden beschränkt ist.

MSC:
60F99 Limit theorems in probability theory
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Full Text: DOI Link EuDML
References:
[1] Math. Ann. 85.
[2] M?moires de l’Acad?mie de St. P?tersbourg (8)11 (1901).
[3] ?Extension des th?or?mes limites du calcul des probabilit?s aux sommes de quantit?s li?es en cha?nes? (en russe)M?moires de l’Acad. des Sciences de St. P?tersbourg (8)22. ? ??tude du cas g?n?ral des exp?riences, formant une cha?ne?, ibidem25 (en russe).??Sur un cas d’exp?rieces formant une chaine complexe?, Bulletin de l’Acad. Imp?riale de St. P?tersbourg 1911 (en russe).??Sur les quantit?s d?pendantes ne formant pas une v?ritable cha?ne?, ibid.(en russe).? ?Recherches sur un cas remarquable d’?preuves d?pendantes?, Acta Mathematica3 (en fran?ais). ??Application de la m?thode des esp?rances math?matiques ? des sommes de quantit?s d?pendantes?, Bulletin de l’Acad. Imp?riale des Sciences 1915 (en russe).
[4] Il est, bien entendu, sans importance quen?? au lieu de tendre vers une autre limite quelconque: nous faisons cette hypoth?se qui se pr?sente le plus souvent et ? laquele le cas g?n?ral se ram?ne par un changement de param?tres, uniquement pour fixer les id?es.
[5] ?Nouvelle forme du th?or?me sur la limite de probabilit?.
[6] Nous nous appuyons sur l’in?galit? g?n?rale (AB)+1?(A)+(B), o? (A) et (B) sont les probabilit?s de deux ?v?nements quelconques, et (AB) la probabilit? de leur r?alisation simultan?e.
[7] II est ais? de v?rifier, que d’apr?s cette condition, ??2; et, si on tient compte de 2., il en r?sulte ??1+?.
[8] Dans tous les cas, c’est celle des deux in?galit?s (45) et (45bis) qui est la moins restrictive qui est suffisante, car, pour ??1, (45) est une cons?quence de (45bis), et, pour ?>1, c’est l’inverse qui a lieu.
[9] M, H. etN sont, bien entendu, des constantes fixes.
[10] ? moins que le facteur deg 3/2? ne soit-inf?rieu ?L, auquel cas c’est parL qu’il faudra le remplacer.
[11] Il n’y aurait rien ? changer dans les raisonnenments, si 1/n ? ?tait remplac? parc/n ? dans (99),c ?tant un nombre positif fixe.
[12] A. Markoff, ?Etude du cas g?n?ral des exp?riences formant une cha?ne? p. 5. (M?m. de l’Ac. de St. P?tersbourg 25.)
[13] A. Markoff, ?Sur un cas d’exp?riences formant une cha?ne complexe? (en russe), Bullet. de l’Acad. Imp?riale de St. P?tersbourg 1911.
[14] Supposons, pour fixer les id?es, quem=n.
[15] Il est ?vident d’ailleurs que siR n tendait encore plus rapidement vers 1, la conclusion qui suit subsisterait a fortiori; voir le ? 21.
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