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Intersections and transformations of complexes and manifolds. (English) JFM 52.0572.02

Eine Abbildung einer \(n\)-dimensionalen Mannigfaltigkeit \(M\) auf sich wird als Teilmenge des Produktes von \(M\) mit sich, d. h. der Mannigfaltigkeit aller Punktepaare von \(M\) gedeutet. Es werden diejenigen Abbildungen betrachtet, bei denen sich diese Mengen als \(n\)-dimensionale Zyklen, d. h. als geschlossene Komplexe, auffassen lassen; hierunter sind z. B. alle eindeutigen Abbildungen enthalten. Die Frage nach den Übereinstimmungspunkten zweier Abbildungen \(f\), \(g\), d. h. nach den Punkten \(x\), für die \(f(x) = g (x)\) ist, ist damit auf die Frage nach dem Kroneckerschen Index (\(=\) Schnittzahl) zweier Zyklen zurückgeführt. Nach ausführlicher Darstellung der Theorie dieses Index wird die Zahl der Übereinstimmungspunkte im algebraischen, d. h. Vielfachheilen berücksichtigenden, Sinne bestimmt; als bekannte Größen werden dabei die Matrizen der linearen Substitutionen benutzt, denen in bezug auf Homologien die Zyklen von \(M\) durch \(f\) und \(g\) unterworfen sind. Ist \(g\) die Identität, so erhält man eine Fixpunktformel, die sämtliche früher bewiesenen Fixpunktsätze, sofern sie von der “algebraischen” Fixpunktzahl handeln, als Spezialfälle enthält. (Formel 71.1; statt \(a_\mu^{ij}\) lies \(a_\mu^{ii}\).)

MSC:

57-XX Manifolds and cell complexes
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