×

zbMATH — the first resource for mathematics

Sur la notion de voisinages dans un espace discret. (French) JFM 52.0586.03
Die breit und wenig übersichtlich angelegte Arbeit Linfields – eine Neubearbeitung und Erweiterung seiner Harvard Thesis (Auszüge im Bulletin A. M. S. 29 (1923); 5-6, 107; F. d. M. 40, 412 (JFM 40.0412.*)) – enthält, an Gedankengänge der neueren Physik anknüpfend, eine Theorie der “diskreten Räume” oder “Partikel-Geometrie”. Ein diskreter Raum \(S\) besteht aus einer endlichen oder abzählbaren Menge von Elementen, zwischen denen eine Relation der “Berührung” oder des “Verbundenseins” definiert ist, die nur der Bedingung unterliegt, daß jedes Element nur höchstens mit endlich vielen anderen verbunden ist. Als Modell eines solchen Raumes kann also, wenn man die Verbindungen geometrisch realisiert denkt, ein endlicher oder abzählbarer Streckenkomplex dienen; doch vermeidet Linfield diese Modelldarstellung im allgemeinen, wenn auch manche Bezeichnungen und Fragestellungen an die Theorie der Streckenkomplexe erinnern. Es handelt sich vielmehr um eine Formalisierung der Theorie, die durch Einführung zweier Operationen \(P\, | \, Q\) bzw. \(P/Q\) (Bildung der Menge der Elemente von \(P\), die nicht zu \(Q\) gehören, aber mit wenigstens einem bzw. mit allen Elementen von \(Q\) verbunden sind) neben der Bildung von Summe, Differenz und Durchschnitt erreicht wird; der Kalkül dieser fünf Operationen wird im Anhang axiomatisch entwickelt.
Kap. I enthält die Grundbegriffe der Theorie: Definition des Zusammenhangs (Übertragung der Hausdorffschen Definition), der “Äquivalenzen” (d. h. eineindeutiger Abbildungen, die in beiden Richtungen die Relation des Verbundenseins erhalten), der Dimension (die darauf hinauskommt, daß das Modell den Kantenkomplex eines \(n\)-, aber keines höherdimensionalen Simplex enthält), des Grades (Anzahl der Elemente), der Ordnung (Anzahl der äquivalenten Abbildungen auf sich) usw. Man vermißt unter den Grundbegriffen ein Analogon der offenen und der abgeschlossenen Mengen – und das mit gutem Grund: Macht man nämlich – nach Fréchet -einen zusammenhängenden diskreten Raum zu einem \(V\)-Raum (der übrigens im allgemeinen kein \(L\)-Raurn ist), indem man als (einzige) Umgebung eines Elements \(X\) die Menge \(X + (S\, | \, X)\) erklärt, so übertragen sich die meisten Begriffsbildungen in vernünftiger Weise auf den \(V\)-Raum; die einzigen Mengen dieses \(V\)-Raums aber, die den Namen “offen” oder “abgeschlossen” verdienen (und dann beide zugleich), sind der ganze Raum und die leere Menge. (Die etwas künstliche Definition der Dimension unterzieht Fréchet einem Vergleich mit den Dimensionstypen.) – Es folgt dann in Kap. I noch eine ausführliche Untersuchung der äquivalenten Abbildungen eines diskreten Raumes auf sich, wobei als Hilfsmittel gewisse mit einer Äquivalenz verknüpfte “Hyperräume” (deren Elemente Teilmengen des ursprünglichen Raumes sind) dienen; ferner Betrachtungen über die Möglichkeit, endliche diskrete Räume von gegebenem Grad, gegebener Dimension und gegebener Ordnung zu konstruieren, wobei – abgesehen von den einfachsten Fällen – natürlich nur Abschätzungen für die Anzahl der möglichen Modelle erhalten werden.
Kap. II handelt von speziellen diskreten Räumen, die als “dicht” und als ”normal” bezeichnet werden und durch gewisse Homogenitätsforderungen hinsichtlich der Dimension gekennzeichnet sind. – In Kap. III werden Hyperräume -die “abgeleiteten Räume” eines diskreten Raumes – untersucht, deren Elemente aus den Simplices einer bestimmten Dimension im ursprünglichen Raum bestehen (diese von Linfield nicht benutzte geometrische Sprechweise mag hier zur Abkürzung dienen); ferner Hyperräume, die aus den \(n\)-Zellen eines gegebenen Raumes bestehen, wobei eine kombinatorische Defintion der \(n\)-dimensionalen Zelle benutzt wird und die Forderungen, die an den Hyperraum gestellt werden,etwa denen entsprechen, die man an einen Zellenkomplex stellt. Es handelt sich um die Struktur der Ableitungen dichter und normaler Räume, ferner unter speziellen Voraussetzungen um Sätze über die Färbung eines \(n\)-dimensionalen Raumes mit \(n + 1\) Farben, wobei verbundene Elemente, wie üblich, verschiedene Farben erhalten sollen. Kap. IV bringt für gewisse normale Räume Überlegungen, deren geometrischen Inhalt man etwa mit den Stichworten “Geschlecht einer Fläche”, “einseitige” und “zweiseitige Lage” kennzeichnen kann. Im Kap. V werden diskrete Räume betrachtet, die noch von einem (endlich vieler Werte fähigen) ganzzahligen Parameter abhängen. Der Begriff der Orientierung, der hier eingeführt wird, ist speziell auf den zweidimensionalen Fall zugeschnitten, auf den sich auch die wesentlichen Ergebnisse dieses Kapitels beziehen. – Ein Anhang enthält Anwendungen auf die Geometrie der Ebene.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI EuDML