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Intuitionistische Einführung des Dimensionsbegriffes. (German) JFM 52.0589.02
Der von Verf. (J. f. M. 142 (1913), 146-152; F. d. M. 44, 555 (JFM 44.0555.*); vgl. auch Proceedings Amsterdam 26 (1923), 795-800 und Verslag Amsterdam 32 (1923), 881-886; F. d. M. 49, 140 (JFM 49.0140.*)) eingeführte Dimensionsbegriff, der sich inzwischen als so außerordentlich fruchtbar erwiesen hat, wird hier intuitionistisch formuliert und verwertet.
Verf. definiert zunächst die katalogisiert-kompakten Spezies, das intuitionistische Analogon der insichdichten, kompakten (vollständigen) metrischen Räume; von einer metrisierten Folge ausgehend, werden Teilfolgen verschiedener Elemente betrachtet, die einer Art Cauchyschem Konvergenzkriterium genügen, und ähnlich, wie dies üblicherweise geschieht, zu Spezies (Punktkernen) zusammengefaßt. Bezeichnend ist dabei, daß die Kompaktheit erzwungen wird durch eine Voraussetzung, die nach jeder Wahl eines Elementes der zugrunde liegenden Folge im wesentlichen fast alle weiteren Wahlmöglichkeiten unmöglich macht. Wichtig für das Folgende ist auch der Begriff der katalogisierten Teilspezies (der Spezies aller Punktkerne), das sind Spezies, die von jedem Punktkern einen Abstand besitzen. Erst ihre Definition ermöglicht ein topologisches Arbeiten im definierten Raum.
Nach einem vorbereitenden Satze über die Erweiterung von Trennungen von Spezies (beim Übergang zu umfassenderen Spezies) definiert Verf. den unteren und den oberen Dimensionsgrad einer katalogisiertkompakten Spezies \(S\). Den oberen Dimensionsgrad \(n\) besitzt \(S\), wenn zu je zwei in bezug auf \(S\) katalogisierten kompakten Teilspezies \(A\) und \(B\) im Abstand \(> 0\) voneinander eine in bezug auf \(S\) katalogisierte kompakte Teilspezies vom Dimensionsgrad \(n - 1\) angegeben werden kann, die \(A\) und \(B\) trennt; der obere Dimensionsgrad von \(S\) ist Null, wenn \(S\) zwischen \(A\) und \(B\) eine Sprungweite \(> 0\) besitzt. Der untere Dimensionsgrad ist \(n\), wenn \(A\) und \(B\) so angegeben werden können, daß jede \(A\) und \(B\) trennende in bezug auf \(S\) katalogisierte kompakte Teilspezies vom untereren Dimensionsgrad \(n - 1\) ist; der untere Dimensionsgrad ist Null, wenn ein Element von \(S\) angegeben werden kann.
Verf. beweist dann den Rechtfertigungssatz, der besagt, daß die \(n\)-dimensionalen Mannigfaltigkeiten den oberen und unteren Dimensionsgrad \(n\) besitzen. (I 2.)

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