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Sur les courbes planes dont les longueurs d’arcs sont invariantes par homographie. (French) JFM 52.0689.01
Nouv. Ann. de Math. (6) 1, 225-236 (1926).
Verf. fragt nach denjenigen Kurven, die bei einer gegebenen projektiven Abbildung der Ebene längentreu abgebildet werden. Handelt es sich speziell um eine Affinität, so ergeben sich zwei Scharen paralleler Geraden, und speziell bei einer Ähnlichkeitstransformation die isotropen Geraden.
Im allgemeinen Fall erhält man eine Differentialgleichung für die gesuchte Kurvenschar, die sich mittels elliptischer Integrale lösen läßt. Die Lösung wird analytisch durchgeführt, und die gesuchten Kurven ergeben sich als Höhenlinien einer gewissen Fläche, die mittels der Weierstraßschen Funktionen \(\wp(u)\), \(\wp'(u)\) und \(\zeta (u)\) dargestellt wird. Die Diskussion der Lösungskurven erfolgt indes in unmittelbarem Anschluß an die Differentialgleichung. Durch jeden Punkt der Ebene gehen zwei der gesuchten Kurven; die Gebiete, für die diese Kurven reell ausfallen, werden von den anderen durch eine gewisse Kurve vierten Grades getrennt. (IV 6 D, 9; V 5 C.)
Full Text: EuDML