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Calcul différentielle absolu. (French) JFM 52.0720.01
Mémorial des sciences mathématique. Fasc. 19. Paris: Gauthier-Villars. 37 p. (1926).
Diese kurze und inhaltsreiche zusammenfassende Darstellung umfaßt sechs Kapitel. Nach einer den historischen Entwicklungsgang behandelnden Einleitung bringt das erste Kapitel Definition, Transformation und algebraischen Kalkül allgemein \(n\)-stufiger Tensoren, von Differentiationsprozessen indessen nur die gewöhnliche Differentiation mit ihrem auf die lineare Gruppe beschränktem Kovarianzcharakter.
Der Einführung der kovarianten Differentiation (Kapitel II) gehen allgemeine Betrachtungen über den Kalkül linearer Operatoren voran. Sie erscheint durch das System der \(n^3\) “Drehungskoeffizienten” \(\gamma^k_{lh}\) charakterisiert, über welche zunächst keine weiteren Voraussetzungen getroffen werden. Die Kovarianz des Differentiationsprozesses (\(\overline d\)) beim Übergang zu neuen Koordinaten (\(x'\)) bleibt erhalten, wenn sich die Größen \(\varTheta_i^{\lambda}=\dfrac{\partial {x'}^{\lambda}}{\partial x_i}\) (und ihre Reziproken) für den Prozeß (\(\overline d\)) wie Konstante verhalten: \(\overline d\varTheta^{\lambda}_{i}=0\); diese Bedingung ist auch notwendig.
Eine weitere Einschränkung der Drehungskoeffizienten wird durch zusätzliche geometrische Bedingungen hervorgerufen. Hier handelt es sich zunächst um den Tensorkalkül der Riemannschen Geometrie (Kapitel III). Die Einführung der quadratischen Metrik in Verbindung mit dem “Kommutatortheorem” (\(\overline{\delta}dx^i-\overline{d}\delta x^i=0\)) reduziert die \(\gamma^k_{lh}\) in bekannter Weise auf Christoffels (symmetrische) Dreizeigersymbole zweiter Art. Ebenso wird durch Vertauschung der Reihenfolge der zweiten kovarianten Ableitungen der Riemann-Christoffelsche Krümmungstensor mit sämtlichen Symmetrieeigenschaften abgeleitet.
Mit der Behandlung des absoluten Pfaffschen Kalküls (Kapitel IV) beginnt Verf. die Darstellung der hauptsächlich auf E. Cartan zurückgehenden Entwicklungen. Erscheint der Ersatz der \(n\) Differentiale \(dx^i\) durch \(n\) linear unabhängige Pfaffsche Formen \(d\omega^i\) zunächst als vielleicht unnötige Verallgemeinerung, so zeigt jedoch die Verknüpfung mit der Riemannschen Geometrie bereits den Vorteil einer stets möglichen “Hauptachsentransformation” der quadratischen Metrik auf die Form: \(\varphi=\sum\limits_{i=1}^n (d\omega^i)^2\), also eine Reduktion des Fundamentaltensors auf den Einheitstensor. Die Entwicklung der Formeln für die absolute Differentiation im Pfaffschen Tensorkalkül und die Vertauschbarkeitstheoreme führen auf die wichtigen Tensoren der Krümmung und Torsion, Beide genügen gewissen Symmetrie-, zyklischen und Differentiationsidentitäten (“Bianchische Identitäten”), wie sie (im torsionsfreien Falle) bereits von Ricci und Bianchi angegeben wurden.
Sodann werden in dem mehr geometrischen Kapitel V die von E. Cartan geprägten Begriffe “affiner Zusammenhang”, “metrischer Zusammenhang”, “euklidischer Zusammenhang” behandelt [Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (3) 41, 1–25 (1924; JFM 51.0581.01)]. Für den Fundamentaltensor \(a_{ik}\) einer Mannigfaltigkeit mit “metrischem Zusammenhang” gilt notwendig und hinreichend: \(\overline{d}a_{ik}= 2a_{ik}d\psi\). Insbesondere liegt “euklidischer Zusammenhang” vor, wenn die (im übrigen willkürliche) Linearform \(d\psi\) der \(d\omega^i\) identisch verschwindet. Die Weylsche Geometrie ist eine Geometrie mit metrischem Zusammenhang ohne Torsion. Auch für die Identität geodätischer Linien und Linien stationärer Länge ist die Torsion von Bedeutung, für zweidimensionale Mannigfaltigkeiten hat eine solche Identitätsforderung insbesondere Torsionsfreiheit zur notwendigen Folge. Die (induzierte) Übertragung der gewonnenen Begriffe und Eigenschaften auf “eingebettete” Mannigfaltigkeiten behandelt das Schlußkapitel VI. (V 7.)
Weitere Besprechung: Enea Bortolotti, Bollettino U. M. I. 6 (1927), 101–104.

MSC:
53-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to differential geometry
Full Text: EuDML