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Non-Riemannian geometry. (English) JFM 52.0721.02

Beide Bücher (JFM 52.0721.01) zusammen geben eine Einführung in die mehrdimensionale Differentialgeometrie von den Ergebnissen Riemanns bis zu deren neuesten, von Weyl, dem Verf., Veblen u. a. herrührenden Verallgemeinerungen.
Das erstgenannte enthält die Theorie der Räume mit quadratischer Maßbestimmung, die aber im Gegensatz zu den meisten anderen Darstellungen nicht als definit vorausgesetzt wird, so daß die erhaltenen Resultate ohne weiteres auf das Einsteinsche Raum-Zeit-Kontinuum angewendet werden können. Ein einleitendes Kapitel gibt einen Abriß des Tensorkalküls, der im Buche ausschließlich verwendet wird. Im Kap. II werden die metrischen Grundbegriffe wie Bogenlänge, Winkel zweier Vektoren, geodätische Linie, Levi-Civitasche Parallelverschiebung, Krümmung einer Kurve und des Raumes eingeführt. Das Kap. III ist den Kurvenkongruenzen (Rotationskoeffizienten von Ricci, geodätische Kongruenzen, Riccis Hauptrichtungen) und den mehrfachen Orthogonalsystemen von Hyperflächen gewidmet. Im Kap. IV werden die Krümmungseigenschaften der Unterräume von Riemannschen Räumen untersucht. Zuerst für die Hyperflächen, dann für die Unterräume niedrigerer Dimension werden die verallgemeinerten Gauß-Codazzischen Gleichungen abgeleitet und Hauptkrümmungen und Krümmungslinien eingeführt. Ferner werden Mannigfaltigkeiten, die zum umgebenden Raum in besonderer Beziehung stehen, wie geodätische und Minimai-Mannigfaltigkeiten, untersucht. Das Kap. V enthält weitergehende Untersuchungen, für den Spezialfall der Unterräume euklidischer Räume, sowie einiges über Räume konstanter Krümmung. Das letzte Kapitel ist den Transformationen Riemannscher Räume in sich, insbesondere den Bewegungsgruppen, die sie zulassen, gewidmet. (Ausführlichere Besprechung: L. Berwald, Jahresbericht D. M. V. 36 (1927), 68 kursiv.)


Das zweite Buch beginnt mit einer formalen Einführung der Räume mit allgemeinem (nicht notwendig symmetrischem) Zusammenhang, der mit ihm verknüpften Tensoren, der zugehörigen kovarianten Differentiation und Parallelverschiebung. Hieran schließt sich eine Untersuchung derjenigen Änderungen des Zusammenhangs, die den Parallelismus erhalten, und die Verallgemeinerung von Riccis Theorie der Kurvenkongruenzen auf die hier betrachteten Räume. Das Kap. II ist den Räumen mit symmetrischem Zusammenhang, also den affinzusammenhängenden Räumen im Sinne Weyls, gewidmet. Hier ordnen sich als Spezialfälle die Riemannschen Räume und die metrischen Räume (mit Streckenkrümmung) von Weyl unter. Die Änderungen des affinen Zusammenhangs, die die Bahnkurven erhalten, sind Gegenstand des Kap. III Es werden u. a. der Projektivkrümmungstensor, der projektive Zusammenhang, der projektive Parameter der Bahnkurven eingeführt und die projektiv-euklidischen Räume bestimmt. Das Kap. IV enthält die Theorie der Unterräume (durch den umgebenden Raum induzierter Zusammenhang und Parallelismus, verallgemeinerte Gauß-Codazzische Gleichungen). (Ausführlichere Besprechung: L. Berwald Jahresbericht D. M. V. 38 (1929), 111 kursiv.) (V 7.)


Weitere Besprechungen: E. Bortolotti, Boll. Un. Mat. Ital. 6 (1927), 32; C. L. E. Moore, Am. Math. Mon. 34 (1927), 208-209; S. Lefschetz, Bull. Sci. Math. (2) 50, 332-334.

MSC:

53-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to differential geometry
53Cxx Global differential geometry

Citations:

JFM 52.0721.01