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Untersuchung der Krümmung allgemeiner metrischer Räume auf Grund des in ihnen herrschenden Parallelismus. (German) JFM 52.0726.04
Unter einem metrischen allgemeinen Raum versteht Verf. eine \(n\)-dimensionale Mannigfaltigkeit \(M\), bezogen auf Koordinaten \(x^i\), welcher durch das Grundintegral \(s =\int\limits_{t_0}^t F(x,\dot x) dt\) eines regulären Variationsproblems einfachster Art, das die “Bogenlänge” einer jeden in \(M\) verlaufenden Kurve \(x^i(t)\) erklärt, eine Maßbestimmung aufgeprägt ist. Das Variationsproblem \(\delta s = 0\) – regulär, solange die Weierstraßsche Funktion \(F_1(x,x')\) in \(x^i\) und \(x^{\prime i}\) nicht identisch verschwindet -erlaubt unter passenden Voraussetzungen eine Darstellung der Extremalendifferentialgleichungen in der Form \[ x^{i\prime\prime}=\varphi^i(x,x')\qquad (i=1,2,\ldots,n). \tag{11} \] Wegen der Argumente \(x^{\prime i}\) sind \(\varphi^i\) im allgemeinen keine Ortsfunktionen, ebensowenig als auch die Koeffizienten \[ \varGamma^i_{kl}(x,dx)=\frac12 \frac{\partial^2\varphi^i(x,dx)}{\partial dx^k\partial dx^l} \] im (übrigens symmetrischen) Parallelverschiebungsgesetz (des kontravarianten Vektors \(\xi^i\)) \[ d\xi^i+\varGamma^i_{kl}(x,dx)\xi^k\delta x^l=0 \qquad (i=1,2,\ldots,n). \tag{14} \] Parallelverschiebung von “\(\xi\)” simultan mit “\(dx\)” um ein infinitesimales Parallelogramm führt zum Krümmungstensor \(K^i_{klm}(x,dx)\), Identifikation von “\(\xi\)” mit “\(dx\)” zum Grundtensor der Krümmung \(K^i_{lm} (x, dx)\) im allgemeinen Raum. Zwischen beiden besteht die Beziehung \[ \frac{\partial K^p_{ik}(x,dx)}{\partial dx^l}=K^p_{lik}(x,dx). \] Die Vektorübertragung (14) und mit ihr der Raum \(M\) ist affinzusammenhängend, wenn keine Abhängigkeit vom Vektorfeld “\(dx\)” besteht, die \(\varGamma^i_{kl}\) also bloße Ortsfunktionen sind – sie ist insbesondere euklidisch-affin, wenn außerdem Integrabilität der Übertragung besteht, d. h. \(K^i_{klm}\) identisch verschwindet (§ 1).
Die Aufgabe, alle allgemeinen Räume (alle Grundfunktionen \(F\)) zu bestimmen, welche einem gegebenen Parallelismus \(\varGamma^i_{kl}\) zugehören, reduziert sich auf das Differentialsystem \[ X_{x^i}f\equiv F_{x^i}-\frac12 \frac{\partial \varphi^k}{\partial x^{\prime i}}F_{x^{\prime k}}=0 \qquad (i=1,2,\ldots,n), \tag{25} \] dessen Klammerausdrücke die Gestalt \(K^q_{kl}F_{x^{\prime q}}\) haben. Im Sonderfalle ortsabhängiger integrabler Parallelübertragung kann die Grundfunktion des Variationsproblems durch eine Punkttransformation stets auf die Form \(F(x^{\prime}_1,x^{\prime}_2,\ldots,x^{\prime}_n)\) gebracht werden, welche nur mehr von den Ableitungen der Korodinaten, aber nicht mehr von diesen selbst abhängt; die allgemeinen Räume dieser Spezialisierung sind mithin mit den Minkowskischen Räumen identisch (§ 2). Erklärt man durch \[ g_{ik}(x,\dot x)=g_{ki}(x,\dot x)=\frac12 \frac{\partial^2(F^2)}{\partial\dot x^i\partial\dot x^k} \tag{27} \] den kovarianten Fundamentaltensor im allgemeinen metrischen Raum analog den kontravarianten mit zugehörigem Indexspiel und definiert die (erste) kovariante Ableitung \(\xi^{(k)}_{\cdot(l)/i}\) des Tensors \(\xi^{(k)}_{\cdot(l)}\) als Endergebnis, welches der Übergang des Skalars \(\xi^{(k)}_{(l)}(x,x')\eta_{k_1}^{(1)}\eta_{k_2}^{(2)}\ldots\) \(\eta_{k_m}^{(m)} \zeta_{(1)}^{l_1}\zeta_{(2)}^{l_2}\ldots\zeta_{(r)}^{l_r}\) vom Punkte \((x)\) zu \((x+\delta x)\) unter Parallelverschiebung der Vektoren \((x')\), \((\eta^{\alpha})\), \((\zeta_{\beta})\) (\(\alpha = 1, 2,\ldots m\); \(\beta = 1, 2,\ldots r\)) relativ zum “Feld” \((dx) = (x'ds)\) liefert, so gilt in diesem Kalkül \[ f_{/ik}-f_{/ki}=-\frac{\partial f}{\partial x^{\prime p}} K^p_{q\cdot ik}x^{\prime q} \] (analog für Tensoren höherer Stufe). Ferner: \[ f_{x^{\prime i}/k}-f_{k/x^{\prime i}}=0,\quad \xi_{i/x^{\prime k}/l}-\xi_{i/l/x^{\prime k}}=\frac12\xi_p \frac{\partial^3\varphi^p}{\partial x^{\prime i}\partial x^{\prime k} \partial x^{\prime l}} \] (analog für Tensoren höherer Stufe). Die kovarianten Ableitungen der Grundfunktion \(F\) verschwinden identisch. Nicht so die des Fundamentaltensors \(g_{ik}\) (Lemma von Ricci), welche durch komplizierter gebaute Identitäten ersetzt werden. Auch die Bianchische Identität ist hier von anderer Form und führt zu verschiedenen Ergebnissen, je nachdem der Grundtensor der Krümmung \(K^i_{\cdot lm}\) oder der Krümmungstensor \(K^i_{klm}\) zum Ausgangsobjekt genommen wird (§ 3). Mit dem Fundamentaltensor \(g_{ik}(x, \dot x)\) unmittelbar verknüpft ist die Längen- und Winkelmessung im allgemeinen Raum. Dabei erscheint bemerkenswert: Orthogonalität zum Vektor \((dx)\) im Punkt \((x)\) in bezug auf das Linienelement \((dx)\) ist in diesem Punkte identisch mit Transversalität zum Linienelement \((dx)\) in bezug auf das Variationsproblem mit dem Grundintegral \(\int\limits_{t_0}^t Fdt\). Die Abhängigkeit der metrischen Formeln für Länge und Winkel von der Wahl des ausgezeichneten Vektorfeldes \((dx)\) äußert sich bei Parallelübertragung der Figur, die aus einem Vektor im Punkt \((x)\) und dem ausgezeichneten Linienelement dieses Punktes besteht, längs eines willkürlichen Linienelementes. So wird dieser Geometrie ein (von der Weylschen Geometrie durchaus verschiedener) Streckenkrümmungsbegriff eigentümlich in Form eines Tensors vierter Stufe \(S_{iklm}\), symmetrisch im ersten, schiefsymmetrisch im zweiten Indexpaar (§ 4). Die Krümmungstheorie zweidimensionaler allgemeiner Räume vereinfacht sich von vornherein, sofern die nichtverschwindenden Komponenten des Krümmungstensors im wesentlichen mit den Komponenten des verjüngten Krümmungstensors zusammenfallen. Die Verallgemeinerung der Gaußschen Krümmung ist hier durch den Krümmungsskalar \(\mathfrak K\) gegeben. Er ist identisch mit Underhills Invariante \(\mathfrak U\) (1908; F. d. M. 39, 437 (JFM 39.0437.*)) und verwandt mit der E. Noetherschen Grundfunktion [\(\varOmega_2\)] (1918; F. d. M. 46, 675 (JFM 46.0675.*)). Er ist Ortsfunktion, sobald der verjüngte Krümmungstensor \(K_{ik}\) symmetrisch ist. Dann und nur dann verschwindet der Skalar \(\mathfrak A\), die Asymmetrie von \(K_{ik}\). Die Berechnung des Tensors \(S_{iklm}\) zeigt die Existenz eines weiteren Skalars \(\mathfrak S\), des Skalars der Streckenkrümmung im allgemeinen zweidimensionalen Raum. Ein zweidimensionaler Raum ist insbesondere streckenkrümmungsfrei, wenn \(\mathfrak K\sqrt{F_1F^3}\) Ortsfunktion ist, und nur in diesem Falle. Ist \(\mathfrak K\) allein schon Ortsfunktion und liegt insbesondere kein Riemannscher Raum vor, so folgt für \(\mathfrak S\equiv 0\) notwendig \(\mathfrak K\equiv 0\). Daher sind auch die Landsbergschen Räume streckenkrümmungsfrei. Es sei hier auf die Einführung des Hauptskalars \(\mathfrak F\) in einer späteren Arbeit des Verf. (1927; F. d. M. 53, 689 (JFM 53.0689.*)) verwiesen, durch welchen die allgemeine zweidimensionale Krümmungstheorie erheblich an Übersicht und Vollständigkeit gewinnt (§ 5).
Die Theorie der Krümmungsinvarianten mehrdimensionaler allgemeiner Räume hat zunächst die Übertragung des Riemannschen Krümmungsmaßes \(\mathfrak R\) zu geben, sodann mit Hilfe der Verjüngung von Grund- und Krümmungstensor die Richtnngsinvariante \(\mathfrak K (x, dx)\) der Krümmung abzuleiten. Sie läßt sich analog wie in einem Riemannschen Raum als Mittelwert interpretieren. Schließlich gibt Verf. noch eine geometrische Deutung des Krümmungsmaßes \(\mathfrak R\), welche eine Übertragung der von Levi-Civita herrührenden Parallelogrammoiddefinition des Riemannschen Krümmungsmaßes (1917; F. d. M. 46, 1125 (JFM 46.1125.*)) auf allgemeine Räume darstellt. (IV 15).

MSC:
53-XX Differential geometry
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