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On normal coordinates in the geometry of paths. (English) JFM 52.0729.03
Durch die Einführung der Veblenschen Normalkoordinaten in die “Geometrie der Bahnkurven” (geometry of paths) werden die Bahnkurvengleichungen örtlich (z. B. im Ursprung des Koordinatensystems) linearisiert und die Bilder der Bahnkurven im cartesischen Parameterraum erscheinen als Gerade (durch den Ursprung). Bekanntlich bestimmen die Bahnkurven einer affinen Übertragung die Komponenten \(\varGamma ^i_{jk}\) nur bis auf die Transformation \(\varGamma_{jk}^i=\varGamma^{\prime i}_{jk}+ \delta^i_j\varphi_k+\delta^i_k\varphi_i\), in welche der willkürliche kovariante Vektor \(\varphi_j\) eingeht. Mit dieser Transformation der Zusammenhangskomponenten ist jeweils eine aus der Gruppe von Transformationen, welche die assoziierten Geraden durch den Ursprung des Parameteraums invariant läßt, verknüpft. Durch geeignete Wahl des Vektors \(\varphi_j\) konnte bereits Veblen diese zugeordnete Parametertransformation in Form linear gebrochener Ausdrücke erhalten. Dafür gibt nunmehr Verf. folgende Kriterien:
(1) Eine projektive Abänderung des affinen Zusammenhanges zieht eine linear gebrochene Transformation der Normalkoordinaten in jedem Punkte dann und nur dann nach sich, wenn der Vektor \(\varphi_i\), welcher die Änderung des Zusammenhanges bestimmt, den Relationen \[ \varphi_{i,j}+\varphi_{j,i}+2\varphi_i\varphi_j=0 \] genügt.
(2) Damit die Normalkoordinaten in einem jeden Punkt linear gebrochen transformiert werden, sobald der affine Zusammenhang mit Invarianz der Bahnkurven abgeändert wird, ist notwendig und hinreichend, daß der symmetrische Teil des Riccischen Tensors ungeändert bleibt.
(3) Eine projektive Abänderung eines affinen Zusammenhanges erhält dann und nur dann den Riccischen Tensor, wenn sie den Krümmungstensor ungeändert läßt. In diesem Falle transformieren sich die Normalkoordinaten wiederum linear gebrochen in jedem Punkt.

Subjects:
Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 6. Differentialgeometrie. C. Differentialgeometrie in mehrdimensionalen und allgemeinen Räumen.
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