×

zbMATH — the first resource for mathematics

First integrals in the geometry of paths. (English) JFM 52.0729.04
Für die Geometrie der Bahnkurven (geometry of paths) sind die Eigenschaften und Integration eines Differentialsystems zweiter Ordnung \[ \frac{d^2x^i}{ds^2}+\varGamma^i_{jk}\frac{dx^j}{ds}\frac{dx^k}{ds}=0\qquad i,j,k=1,2,\ldots,n \] von wesentlicher Bedeutung. Verf. untersucht charakteristische Bedingungen, unter welchen für diese Systeme erste Integrale von bestimmter Gestalt bestehen und findet die folgenden:
(1) Die notwendigen und hinreichenden Bedingungen, unter welchen ein affiner Zusammenhang derart gewählt werden kann, daß die Differentialgleichungen der Bahnkurven ein homogenes erstes Integral vom \(r\)-ten Grade gestatten, sind die Existenz eines symmetrischen Tensors \(g_{ij\ldots k}\) und eines Vektors \(\psi_i\), welche den Bedingungen: \[ P(g_{ij\ldots k,l}+g_{ij\ldots k}\psi_l)=0 \] genügen. Dann ist das erste Integral durch \[ g_{ij\ldots k}\frac{dx^i}{dt}\frac{dx^j}{dt}\cdots\frac{dx^k}{dt}= \text{const} \] und der affine Zusammenhang durch \[ \varGamma^{\prime i}_{jk}=\varGamma^i_{jk}-\delta^i_j\varphi_k\delta_k^i\varphi_j,\quad 2r\varphi_j=\psi_j \] gegeben, wenn man unter \(\varGamma^i_{jk}\) den ursprünglichen affinen Zusammenhang und unter \(P(\ldots)\) die Summe, welche durch zyklische Vertauschung der in der Klammer auftretenden Indices entsteht, versteht.
(2) Eine projektive Transformation eines affinen Zusammenhanges führt ein homogenes erstes Integral seiner Bahnkurvendifferentialgleichungen dann und nur dann in ein ebensolches über, wenn der definierende Vektor der Transformation der Gradient eines Skalars ist.
(3) Die notwendigen und hinreichenden Bedingungen, unter welchen die Bahnkurvendifferentialgleichungen, die zu einem gegebenen affinen Zusammenhang gehören, ein homogenes erstes Integral vom Grad \(r\) gestatten, sind die Existenz eines symmetrischen Tensors \(g_{ij\ldots k}\) und eines Skalars \(\psi\), welche den Relationen \[ P(g_{ij\ldots k,l}+g_{ij\ldots k}\psi_l)=0,\qquad \psi_l=\frac{\partial\psi}{\partial x^l} \] genügen.
Dann ist das erste Integral durch \[ e^{\psi}g_{ij\ldots k}\frac{dx^i}{ds}\frac{dx^j}{ds}\cdots\frac{dx^k}{ds}= \text{const} \] gegeben, während seine Koeffizienten für den transformierten Zusammenhang: \[ \varGamma^{\prime i}_{jk}=\varGamma^i_{jk}-\delta^i_j\varphi_k\delta^i_k\varphi_j,\qquad 2r\varphi_j=\psi_j \] unmittelbar durch \(g_{ij\ldots k}\) gegeben sind.
(4) Ein Bahnkurvendifferentialsystem gestattet insbesondere ein homogenes lineares erstes Integral, wenn die Normalkoordinaten irgend zweier (verschiedener) seiner zugehörigen affinen Zusammenhänge in jedem Punkt durch linear gebrochene Transformationen zusammenhängen.
(5) Eine notwendige und hinreichende Bedingung, unter welcher eine affine Bahnkurvengeometrie einen metrischen Zusammenhang im Sinne der Weylschen Geometrie besitzt, ist die Existenz einer positiven ganzen Zahl \(N\) von der Beschaffenheit, daß die \(N\) ersten Gleichungssysteme \[ g_{\alpha\beta}G^{\alpha\beta}_{ijkl}=0,\quad g_{\alpha\beta}G^{\alpha\beta}_{ijkl,p}=0,\quad g_{\alpha\beta}G^{\alpha\beta}_{ijkl,p,q}=0,\ldots, \] worin \[ G^{\alpha\beta}_{ijkl}=\delta^{\alpha}_i\left(B^{\beta}_{jkl}-\delta_i^{\beta} \frac 1n S_{kl}\right)+\delta^{\alpha}_j\left(B^{\beta}_{ikl}-\delta^{\beta}_i \frac 1n S_{kl}\right), \]
\[ S_{kl}=B^{\alpha}_{\alpha kl} \quad \text{(verjüngter Krümmungstensor)}, \] ein Fundamentalsystem von Lösungen besitzen, welches auch das \((N+1)\)-te Gleichungssystem befriedigt.
(6) Eine notwendige und hinreichende Bedingung, unter welcher eine affine Bahnkurvengeometrie einen metrischen Zusammenhang im Sinne der Weylschen Geometrie besitzt, ist die Existenz eines quadratischen ersten Integrals ihrer Bahnkurvengleichungen, dessen Fundamentaltensor \(g_{ij}\) den Bedingungen \[ 2(n-1)g_{ij,k}+g^{\alpha\beta}(g_{jk}g_{\alpha\beta,i}+ g_{ik}g_{\alpha\beta,j}-2g_{ij}g_{\alpha\beta,k})=0 \] genügt.
(7) Eine notwendige und hinreichende Bedingung, unter welcher eine Bahnkurvengeometrie einen euklidischen Zusammenhang im Sinne der Riemannschen Geometrie besitzt, ist die Existenz eines quadratischen ersten Integrals für jede reduzierte Form ihrer Bahnkurvengleichungen, dessen Fundamentaltensor \(g_{ij}\) den Bedingungen \[ 2(n-1)g_{ij,k}+g^{\alpha\beta}(g_{jk}g_{\alpha\beta,i}+ g_{ik}g_{\alpha\beta,j}-2g_{ij}g_{\alpha\beta,k})=0 \] genügt.
Dabei sind die Bahnkurvengleichungen eines affinen Zusammenhanges in “reduzierter Form” durch die Bedingung \[ S_{ij}=\frac{\partial\varGamma^{\alpha}_{\alpha i}}{\partial x^j}\frac{\partial\varGamma^{\alpha}_{\alpha j}}{\partial x^i}=0 \] charakterisiert, im Einklang mit der bekannten Tatsache, wonach eine Weylsche Geometrie, deren Fundamentalvektor \(\psi_i\) Gradient eines Skalars ist, sich auf eine Riemannsche Geometrie reduziert.

Subjects:
Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 6. Differentialgeometrie. C. Differentialgeometrie in mehrdimensionalen und allgemeinen Räumen.
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI