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Geometries of paths for which the equations of the paths admit \(n(n + 1)/2\) independent linear first integrals. (English) JFM 52.0731.01
Ein Integral \(x^i(s)\) des Systems der Bahnkurven \[ \frac{d^2x^i}{ds^2}+\varGamma^i_{jk}\frac{dx^j}{ds}\frac{dx^k}{ds}=0\qquad (i,j,k=1,2,\ldots,n) \] wird “lineares erstes Integral” genannt, wenn es der Bedingung \[ a_i\frac{dx^i}{ds}=\text{const} \] genügt. Die Diskussion der notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Existenz derartiger Integrale erweist zunächst \(\dfrac{n(n+1)}{2}\) als Höchstzahl der willkürlichen Konstanten, welche die Lösung des Problems zuläßt. Die weitere geometrische Untersuchung knüpft vor allem an Weyls bekannte Transformation des Bahnkurven feldes in sich \[ \overline{\varGamma}^i_{jk}=\varGamma^i_{jk}+\delta_j^i\psi_k+ \delta_k^i\psi_j \] und den Weylschen Projektivkrümmungstensor \(W^h_{ijk}\) an. Versteht man jetzt unter \(B_{ij}\) den verjüngten aus \(\varGamma_{jk}^i\) gebildeten Krümmungstensor, so gilt der Satz: Symmetrie von \(B_{ij}\) und identisches Verschwinden von \(W_{ijk}^h\) ist für die Existenz von \(\dfrac{n(n+1)}2\) linearen ersten Integralen der Bahnkurvendifferentialgleichungen eines \(S_n\) (\(n>2\)) charakteristisch. Dafür kann auch (außer der Symmetrie von \(B_{ij}\)) “projektiv-ebener Charakter” von \(S_n\) gefordert werden, was mit \(W^h_{ijk}\equiv 0\) äquivalent ist und für \(n=2\) von vornherein gilt. So kann man schließlich die allgemeinsten Räume, in welchen die gewünschten Integrale auftreten, durch den Zusammenhang \[ \varGamma^i_{jk}=-(\delta_j^i\psi_{,k}+\delta^i_k\psi_{,j}) \] definieren (\(\psi_{,j}\) Gradient der willkürlichen Skalarfunktion \(\psi\)). Die Räume dieser Art lassen sich stets als Hyperflächen ebener \((n+1)\)-dimensionaler Räume auffassen.

Subjects:
Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 6. Differentialgeometrie. C. Differentialgeometrie in mehrdimensionalen und allgemeinen Räumen.
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