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A projective theory of affinely connected manifolds. (English) JFM 52.0732.02
Transformationen \[ x^i = f^i(\overline x_1,\ldots, \overline x_n)\quad (i = 1, 2,\ldots, n) \] mit nichtverschwindender Funktionaldeterminante \(\varDelta\) und ordnet ihr in der Mannigfaltigkeit \(\mathfrak M^*\) die Gruppe \(\mathfrak G^*\) der Transformationen \[ x_0=\overline x_0 + \log \varDelta,\quad x^i = f^i(\overline x_1, \ldots,\overline x_n) \] zu. Tensoren gegenüber der Gruppe \(\mathfrak G^*\), deren Komponenten jedoch allein von \(x_1,\ldots, x_n\) abhängen, nennt Verf. projektive Tensoren. Sie reduzieren sich auf die gewöhnlichen affinen Tensoren, wenn überdies (im kovarianten Falle) die Komponenten, welche einen Index (0) tragen, verschwinden. In der Mannigfaltigkeit \(\mathfrak M\) vom affinen Zusammenhang \(\varGamma_{\alpha\beta}^i\) hatte Verf. bereits früher (1925; F. d. M. 51, 569 (JFM 51.0569.*)) den projektiven Zusammenhang \[ \varPi_{\alpha\beta}^i= \varGamma_{\alpha\beta}^i-\frac{\delta_\alpha^i} {n+1}\varGamma_{\alpha\beta}^\sigma \frac{\delta_\beta^i}{n+1}\varGamma_{\sigma\alpha}^\sigma \] eingeführt. Mit Hilfe dieser Größen und dem aus ihnen gebildeten “Krümmungstensor” \(\mathfrak B_{\alpha\beta\gamma}^i\) wird nunmehr ein affiner Zusammenhang \[ {}^*\varGamma_{\alpha\beta}^i={}^*\varGamma_{\beta\alpha}^i,\quad {}^*\varGamma_{\alpha 0}^i={}^*\varGamma_{0\alpha}^i,\quad {}^*\varGamma_{\alpha\beta}^0={}^*\varGamma_{\beta\alpha}^0 \] in \(\mathfrak M^*\) gegenüber der Gruppe \(\mathfrak G^*\) eingeführt. Damit gelingt es, die (allgemeine) projektive Theorie in \(\mathfrak M\) auf eine (spezielle) affine Theorie in \(\mathfrak M^*\) zurückzuführen. Dieser Umstand kann zunächst benutzt werden, um die Veblenschen affinen Normalkoordinaten \((y)\) von \({}^*\mathfrak M\) als projektive Normalkoordinaten in \(\mathfrak M\) einzuführen. Ferner vereinfacht sich die Berechnung höherer Tensoren durch Einführung kovarianter Differentiationen mit Hilfe des (Normal-)Zusammenhanges \({}^*C_{\alpha\beta}^i\) (in \((y)\)-Koordinaten) wesentlich. Die so entstehenden projektiven “Normaltensoren” führen auf folgenden “Reduktionssatz”:
Eine projektive Invariante der Gestalt \[ {}^*P\left({}^*\varGamma_{\alpha\beta}^i,\frac {\partial^*\varGamma_{\alpha\beta}^i}{\partial x^\gamma}, \ldots, \frac{\partial^r{}^*\varGamma_{\alpha\beta}^i}{\partial x^\gamma\ldots \partial x^\tau}\right) \] erhält, in Normalkoordinaten die Form \[ {}^*P(0,{}^*A_{\alpha\beta\gamma}^i, \ldots,{}^*A_{\alpha\beta\gamma\ldots \tau}^i), \] d. h. die Zusammenhangskomponenten \({}^*\varGamma_{\alpha\beta}^i\) sind im Normalsystem \((y)\) durch Null, ihre Ableitungen durch die zugehörigen Normaltensoren zu ersetzen. In diesem Sinne bilden die Normaltensoren \({}^*A \ldots\) eine vollständige Basis für die projektiven Invarianten der Mannigfaltigkeit \(\mathfrak M\). Für die geometrische Anwendung wird gezeigt: Zwei affinzusammenhängende Mannigfaltigkeiten \(\mathfrak M\) und \(\overline {\mathfrak M}\) sind projektiv äquivalent, wenn ihre assoziierten Mannigfaltigkeiten \(\mathfrak M^*\) und \(\overline {\mathfrak M}^*\) affinäquivalent (gegenüber der Gruppe \(\mathfrak G^*\)) sind und umgekehrt. Die Äquivalenz findet dabei ihren Ausdruck vermöge projektiver Normaltensoren \({}^*A\ldots\), welche also \(\mathfrak M\) als projektive Mannigfaltigkeit charakterisieren. Projektiv ebene Mannigfaltigkeiten sind durch das identische Verschwinden des projektiven Normaltensors \[ {}^*A_{\alpha\beta\gamma}^i=\frac{\partial^*\varGamma_{\alpha\beta}^i} {\partial x^\gamma}-{}^*\varGamma_{\alpha\beta\gamma}^i -{}^*\varGamma_{\sigma\alpha}^i{}^*\varGamma_{\alpha\gamma}^\sigma -{}^*\varGamma_{\alpha\sigma}^i{}^*\varGamma_{\beta\gamma}^\sigma \] charakterisiert. Dasselbe leistet das Verschwinden des Projektivkrümmungstensors \[ {}^*B_{\alpha\beta\gamma}^i={}^*A_{\alpha\beta\gamma}^i{}^*A_{\alpha\gamma\beta}^i \] Vergleicht man diese Kriterien mit den von Weyl zuerst gegebenen (innerhalb der Gruppe \(\mathfrak G\)), so sind die Fälle \(n>2\) und \(n=2\) zu unterscheiden. In beiden Fällen kommt man mit \({}^*B_{\alpha\beta\gamma}^i\equiv 0\) auf die Weylschen Bedingungen für projektiv ebene Mannigfaltigkeiten zurück, aber naturgemäß wird der Tensor \({}^*B_{\alpha\beta\gamma}^i\) nur für \(i\), \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma=1, 2,\ldots, n\) mit dem Weylschen Projektivkrümmungstensor \({}^*W_{\alpha\beta\gamma}^i\), identisch.

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