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The first and second variations of the length-integral in Riemannian space. (English) JFM 52.0738.04

Für die erste Variation \(\delta L\) der Länge einer \(u\)-Kurve \(L(v)=\int\limits_{u_1}^{u_2} \{g_{mn}\xi^m\xi^n\}^{\frac 12}\,du\) auf der Fläche \(x^i= x^i(u,v)\) im Riemannschen \(N\)-dimensionalen Raum \(V_N\) mit der positiv definiten Metrik \(ds^2= g_{mn}\,dx^m\,dx^n\) gewinnt Verf. (unter den gewöhnlichen Voraussetzungen) folgende Darstellungen: \[ \begin{aligned} &\delta L= \delta v\int\limits_{u_1}^{u_2} g_{ij}\xi^{i}\overline{\eta}^i\,du, \tag{3,4} \\ &\delta L= \delta \int\limits_{u_1}^{u_2} \overline{\eta}\cos\varTheta(\mathbf{\xi},\mathbf{\overline{\eta}}\,du, \tag{3,5} \end{aligned} \] und: \[ \begin{aligned} &\delta L= \delta v([g_{ij}\xi^{i}\eta^j]_{u_1}^{u_2}\int\limits_{u_1}^{u_2} g_{ij}\overline{\xi}^i\eta^i\,du), \tag{4,2} \\ &\delta L= \delta v([\eta \cos \varTheta (\mathbf{\xi},\mathbf{\eta})]_{u_1}^{u_2} \int\limits_{u_1}^{u_2} \overline{\xi} \eta \cos \varTheta (\overline{\mathbf{\xi}},{\mathbf{\eta}})\,du). \tag{4,3} \end{aligned} \] (Dabei gilt \(\xi^i=x^i\), \(\eta^i=x^i\), \(\eta^i= \eta\mu^i\); Striche bedeuten Ableitung nach \(v\), Punkte Ableitung nach \(u\), Querstriche kontravariante Ableitung in bezug auf eine \(u\)-Kurve, das Zeichen \(\widehat{ \;}\) kontravariante Ableitung in bezug auf eine \(v\)-Kurve; der Winkel zweier Vektoren \(X^i,Y^i\) wird durch \(XY \cos \varTheta(X,Y)=g_{mn}X^mY^n\) erklärt; der Variationsvektor \(\eta^i\) und der Einheitsvariationsvektor \(\mu^i\) sind linear abhängig.) Den Darstellungen (3,4), (3,5), (4,2), (4,3) entspringen sieben Theoreme, welche Bedingungen für Verschwinden und Vorzeichencharakter der ersten Variation ergeben. Für die zweiter Variation \(\delta^2L= \frac 12 L''(v)\delta v^2\) ergeben sich folgende Darstellungen: \[ \delta^2 L=\tfrac 12 \delta v^2\int\limits_{u_1}^{u_2} [g_{ij}\xi^i \widehat {\overline{\eta}}{}^j +g_{ij}\overline \eta^i \overline \eta^j-(g_{ij} \xi^i \overline \eta ^j)^2]\,du, \]
\[ \delta^2 L=\tfrac 12 \delta v^2\int\limits_{u_1}^{u_2} [\widehat {\overline{\eta}} \cos \varTheta(\hat \xi,\overline \eta)+ \overline \eta^2 \sin ^2\varTheta(\xi,\overline \eta)]\,du \] oder unter Einführung des Krümmungstensors \(G_{ijkl}\) der \(V_N\): \[ \delta^2 L=\tfrac 12 \delta v^2(T-I_1-I_2). \] Dabei gilt: \[ \begin{aligned} &T=[\hat \eta \cos\varTheta(\xi,\hat \eta)]_{u_1}^{u_2}, \\ &I_1 = \int\limits_{u_1}^{u_2}\overline \xi \hat \eta \cos\varTheta (\overline \xi, \hat \eta)\,du,\\ &I_2 =\int\limits_{u_1}^{u_2}[\overline \eta^2 \sin^2\varTheta (\xi, \eta)-G_{ijkl}\xi^i\eta^j\xi^k\eta^l]\,du=\int\limits_{u_1}^{u_2} [\overline \eta^2 \sin^2\varTheta(\xi, \overline \eta)-K\underset {0} g]\,du, \end{aligned} \] wenn man noch unter Verwendung Riemannscher Koordinaten \(\underset {0} x^i\) die Gaußsche Krümmung \(K\) der \(W_2\) \(x^i= x^i(\underset {0} x^1, \underset {0} x^2)\) mit der Diskriminante \(\underset {0} g =\left| \begin{matrix} \underset {0} g_{11} & \underset {0} g_{12} \\ \underset {0} g_{11} & \underset {0} g_{22} \end{matrix} \right|\) einführt. Auch gewinnt Verf. vier Theoreme über das Verhalten der zweiten Variation. Diese Aussagen vereinfachen sich wesentlich, wenn die Ausgangskurve des Variationsproblems geodätisch gewählt und die Endpunkte festgehalten werden. Positives Verhalten der zweiten Variation ist dann im wesentlichen durch negatives Verhalten oder Verschwinden der Riemannschen Krümmung (im zweidimensionalen Flächenelement) bedingt. Weitere Ergebnisse liefert die Einführung des Einheitsvariationsvektors. Insbesondere ist es auf unbegrenzt vielen Wegen möglich, zu einer gegebenen Kurve \(C\) zweidimensionale Flächen \(V_2\), welche \(C\) enthalten, so zu finden, daß die zweite Variation von \(C\) in \(V_2\) zwischen festen Endpunkten positiv ausfällt. Verf. beschließt seine Untersuchungen mit der Behandlung konjugierter Punkte an Hand der Jacobischen Differentialgleichung. (IV 15.)

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