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Geometria proiettiva differenziale. I, II. (Italian) JFM 52.0751.02
394 + 400 p. Bologna, N. Zanichelli; 1926, 1927 (1926).
Die klassische Differentialgeometrie betrachtet i. a. die infinitesimalen Eigenschaften der Figuren, welche in bezug auf beliebige Bewegungen invariant sind; aber einige Eigenschaften besitzen dieselbe Eigenschaft in bezug auf beliebige projektive Transformationen. Die methodische Erforschung dieser letzten bildet das Thema zahlreicher wichtiger Arbeiten von Fubini (vgl. F. d. M. 46, 1094 (JFM 46.1094.*), 1095, 1097, 1098; 47, 650; 48, 840, 849; 49, 521, 522, 527; 50, 473; 51, 524). Es war allgemein der Wunsch, daß diese Resultate, wie auch diejenigen der Forscher, welche Fubini gefolgt sind, eine Gesamtdarstellung fanden. Glücklicherweise fand der genannte Gelehrte einen geschickten Mitarbeiter in Čech, dem man mehrere Untersuchungen über die projektive Differentialgeometrie verdankt. So entstand ein Werk, welches – wenn es auch einige Berührungspunkte mit einem bekannten von Wilczinski (1906, F. d. M. 37, 620 (JFM 37.0620.*)) darbietet -eine Originalität besitzt, die außer Frage steht. Da die Mehrheit der dargelegten Resultate, wie auch die angewandten Methoden durch die oben genannten Referate schon bekannt sind, so kann der vorliegende Bericht auf die Wiedergabe des Inhaltsverzeichnisses beschränkt werden.
Einleitung (Bezeichnungen, welche immer angewandt werden; Orientierung; Berührung von Kurven und Flächen). Kap. I: Theorie der Kurven (Die Kurven in der euklidischen Geometrie; projektive Differentialgeometrie der Kurven; die geometrischen Grundelemente; die ebenen Kurven). Kap. II: Grundzüge der Flächentheorie (Formeln aus der absoluten Differentialrechnung; einige metrische Sätze; erste projektive Betrachtungen. Die zwei ersten differentiellen Grundformen und einigen Anwendungen derselben. Die differentiellen Grundformen und die dritte differentielle Grundform. Verschiedene Koordinatensysteme; Fall der asymptotischen Linien als Koordinatenkurven. Die Tangenten. Projektive Anwendungen.) Kap. III: Die geometrischen Grundelemente (Die Liesche Fläche und die Segreschen Korrespondenzen. Die geodätischen Linien und andere Kurvensysteme. Geradenkongruenzen. Die Čechschen Flächen, deren Darbouxsche Linien eben sind.) Kap. IV: Die Regelflächen (Anwendungen von Formeln des Kap. II. Die asymptotischen Kurven. Der oskulierende Komplex. Projektive Applikabilität der Regelflächen.) Kap. V: Linienkongruenzen, insbesondere die \(W\)-Kongruenzen und die entspringenden Transformationen (Kongruenzen, für die eine Schale der Fokalfläche gegeben ist. Die Wilczinskischen Kongruenzen. Die Fubinische \(W\)-Transformation. Die Jonasschen Transformationen. Der Fubinische Satz.) Kap. VI: Die Invarianten des projektiven Linienelements (Invarianten erster und zweiter Ordnung. Der erste Problem der projektiven Applikabilität.) Kap. VII: Integrabilitätsbedingungen und Flächen, welche projektiv applikabel sind (Integrabilitätsbedingungen der Grundgleichungen; verschiedene Transformationen derselben. Projektive Biegung. Die Flächen, welche in \(\infty^3\) Weisen deformierbar sind.) Kap. VIII: Nichtregelflächen, welche eine kontinuierliche Gruppe von projektiven Deformationen in sich selbst besitzen (Flächen, welche \(\infty^1\) oder \(\infty^2\) Deformationen in sich selbst besitzen; einigen Bestätigungen der erhaltenen Resultate). Kap. IX: Moutardsche Flächen und Korrespondenzen \(\varSigma\) (von Čech allein geschrieben; Transformation der Grundgleichungen; der Moutardsche Satz; die Korrespondenzen \(\varSigma\); die Weylschen Maßbestimmungen.) Kap. X: Die Umgebung eines Punktes einer Fläche; die Moutardsche Quadrifläche und der Segresche Kegel (Sätze über die Moutardsche Quadrifläche. Die Moutardschen Flächen in bezug auf die asymptotischen Regelflächen. Flächen, deren pangeodätische Linien eben sind.) Kap. XI: Linienkomplexe und Kongruenzen (von Fubini allein geschrieben; Das projektive Linienelement eines Komplexes. Die fundamentalen Differentialgleichungen der Theorie der Komplexe. Die geometrischen Grundelemente einer Kongruenz. Das projektive Linienelement einer Kongruenz.) Kap. XII: Einleitung zur projektiven Differentialgeometrie der höheren Räume.
Der letzte Teil des Werkes besteht aus vier Noten, worin verschiedene Gelehrte Auszüge ihrer Untersuchungen über projektive Differentialgeometrie geben:
I: G. Tzitzeika, Über die Deformation gewisser tetraedraler Flächen.
II: E. Bompiani, Geometrische Grundlagen der projektiven Theorie der Kurven und Flächen.
III: A. Terracini, Darlegung einiger Resultate der projektiven Differentialgeometrie der höheren Räume.
IV: A. Terracini, Über die Flächen, deren asymptotische Linien im linearen Komplexe liegen.
Die Knappheit des Stils macht das Studium des in Rede stehenden Werkes nicht immer leicht. Wenn aber der Leser durch gründliche Überlegungen Meister des Stoffes geworden ist, so wird er eine neue und schöne Theorie vollkommen beherrschen und auch in der Lage sein, Beiträge zu derselben zu liefern.
Besprechungen: G. Sannia, Bollettino U. M. I. 5, 243-250; F. Fabricius-Bjerre, Mat. Tidsskrift B 1928, 54; E. P. Lane, Bulletin A. M. S. 33 (1927), 113-114; 34 (1928), 382-383; Enea Bortolotti, Bulletin sc. Math. (2) 52 (1928), 177-189; J. Alvarez Ude, Revista Mat. hisp.-amer. (2) 2 (1928), 193-196; L. Berwald, Jahresbericht D. M. V. 37 (1928), 103-105 kursiv.