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Sur les équations générales des lignes élastiques et la propagation des ondes. (French) JFM 52.0836.06

Aus dem Vorwort:
Die Untersuchungen von Duhem über Hydrodynamik und Elastizität (1901-1906; F. d. M. 32; 756, 762-766; 33, 770-777; 34, 795-802, 845-846, 858; 35, 749, 792-796, 803-804; 36, 852; 37, 775-777) haben die Leichtigkeit gezeigt, mit der die allgemeinsten Bewegungsgleichungen des Kontinuums durch Anwendung der analytischen Methoden der allgemeinen Thermodynamik erhalten werden können. Überzeugt von den Vorteilen, ja von der Überlegenheit dieser Lehre, hat sie Verf. in älteren Arbeiten auf den biegsamen Faden und die biegsame Membran angewendet. Jetzt soll sie auf die Elastica angewendet werden.
Obwohl die Theorie der Elastica auf Bernoulli und Euler zurückgeht, wurde bekanntlich die Arbeitsweise dieser Autoren vernachlässigt seit der Begründung der allgemeinen Elastizitätstheorie. In der Tat haben Poisson und Cauchy versucht, die Gleichungen für die Formänderung schlanker Stäbe aus den dreidimensionalen Elastizitätsgleichungen durch die Methode der Reihenentwickelung abzuleiten. Die Methode setzt voraus, daß die Spannungen in einem beliebigen Punkt als Funktionen der Querkoordinate dieses Punktes in der Form einer schnellkonvergierenden Reihe dargestellt werden können. Seit 1871 schien es, daß diese Annahme verlassen werden mußte, oder wenigstens nicht in aller Allgemeinheit aufrecht erhalten werden konnte, da sie mit gewissen exakten Resultaten von De Saint Venant und, was wichtiger ist, mit Versuchsergebnissen in Widerspruch geriet.
Die Arbeiten der beiden Cosserat über schlanke Körper haben die tieferen Ursachen dieser Widersprüche aufgezeigt und die tatsächlichen Schwierigkeiten einer Lehre der Elastica nachgewiesen, die sich lediglich auf die Gleichungen der allgemeinen Elastizitätstheorie und die Methode der Reihenentwickelung stützt. Die Untersuchungen dieser Autoren bestätigen also die Berechtigung der Rückkehr zur direkten Betrachtung elastischer Linien und Flächen, so wie sie vor der Begründung der allgemeinen Elastizitätstheorie versucht und durch die beiden Cosserat in ihrer “Theorie des corps déformables” (1909; F. d. M. 40, 862 (JFM 40.0862.*)) wieder aufgenommen wurde.
Die vorliegende thermodynamische Theorie der Elastica ist somit einerseits durch die erwähnten Untersuchungen von Duhem, andererseits durch jene von Cosserat angeregt worden.
Der erste Teil der Arbeit behandelt die elastische Linie mit sechs Parametern; man bezeichnet so die allgemeinste von Cosserat betrachtete Linie, wo die Orientierung jedes beweglichen Trieders in Bezug auf die Mittellinie willkürlich ist. Der zweite Teil behandelt die elastische Linie mit vier Parametern, also jene, die bis jetzt von den meisten Autoren betrachtet wurde, bei der eine der Achsen des beweglichen Trieders die Mittellinie berührt; ihre Theorie ist also ein Sonderfall der im ersten Teil dargelegten.
Inhalt des ersten Teiles:
Kapitel I. Allgemeine Gleichungen. Vorbemerkungen. – Kinematik des beweglichen Trieders. – Die sechs kennzeichnenden Funktionen der Formänderung. – Inneres thermodynamisches Potential und Zähigkeit. – Transformation des vorstehenden Ausdruckes. – Bewegungsgleichungen bezogen auf feste Achsen. – Physikalische Bedeutung der Kraft \(\operatorname{Re}\) und des Kräftepaares \(\mathfrak E\). -Unmittelbare Beweisführung. – Natürliche Gleichungen. -Ausdruck der Trägheitskräfte. – Ergänzende Beziehung. – Erweiterung der Formel von Kirchhoff. -Inneres thermodynamisches Potential. – Inneres thermodynamisches Potential im Falle eines ganz beliebigen Ausgangszustandes. – Dissipative Funktion. – Gleichungen der kleinen Bewegungen.
Kapitel II. Wellenbewegung. Vorbemerkungen. – Die Unstetigkeiten vom kinematischen Standpunkte aus. – Grundgleichungen der Stoßwellen. – Elastica mit Zähigkeit. – Elastica ohne Zähigkeit. – Adiabatisches dynamisches Gesetz. – Beschleunigungswellen mit Zähigkeit. – Beschleunigungswellen ohne Zähigkeit. – Wellen höherer Ordnung.
Die Gliederung des zweiten Teiles ist eine ganz ähnliche.

Citations:

JFM 40.0862.*
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