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Über die formale Beziehung des Riemannschen Krümmungstensors zu den Feldgleichungen der Gravitation. (German) JFM 52.0917.04
Im Riemannschen Kontinuum von vier Dimensionen gehört zu jedem Flächenelement \(f^{ik}\) ein (im Punkte \(P\)) dazu senkrechtes \(\bar f^{ik}\). Dann gilt für den Krümmungstensor \(R_{iklm}\) nach Rainich (Nature 115 (1925), 498) folgende Zerspaltung: \[ R_{iklm} = S_{iklm} + A_{iklm}, \] worin der Anteil \(S_{iklm}\) in den Flächenelementen \((f^{ik})\) und \((\bar f^{ik})\) gleiche, der Anteil \(A_{iklm}\) entgegengesetzte Flächenkrümmung liefert: \[ \begin{matrix} \l & \l & \r \\ S_{iklm} f^{ik} f^{lm} & = & S_{iklm} \bar f^{ik} \bar f^{lm}, \\ A_{iklm} f^{ik} f^{lm} & = & -A_{iklm} \bar f^{ik} \bar f^{lm}. \end{matrix} \] Verf. zeigt, daß die Bedingungen \(A_{iklm} = 0\) mit \[ R_{im} - \frac 14 \, g_{im} R = 0 \] äquivalent sind. Damit erscheint das Gesetz des reinen Gravitationsfeldes durch die Bedingung bestimmt, daß der im Sinne von Rainich gebildete schiefsymmetrische Bestandteil des Riemannschen Krümmungstensors verschwindet. Darin liegt eine mathematische Rechtfertigung des Ansatzes \[ R_{im} - \frac 14 \, g_{im} R = -k T_{im}. \] Mehr noch: Auch im Fall eines nichtverschwindenden Maxwellschen Tensors \[ T_{im} = \frac 14 \, g_{im} \varphi_{\alpha\beta} \varphi^{\alpha\beta} - \varphi_{i\alpha} \varphi_m^\alpha \] gewinnt Verf. eine analoge Deutung durch Spaltung des “elektromagnetisch ergänzten” Krümmungstensors \[ R_{iklm}^* = R_{iklm} + kE_{iklm}, \quad E_{iklm} = \frac 23 [\varphi_{ik} \varphi_{lm} + \frac 12 (\varphi_{il} \varphi_{km} - \varphi_{im} \varphi_{kl})]. \] Wiederum ist \(A_{iklm}^* = 0\) äquivalent mit \(R_{im}^* - \frac 14 g_{im} R^* = 0\) und rechtfertigt einen Ausspruch des Verf. gelegentlich einer Vorlesung, die linke Seite der Gravitationsgleichungen wäre aus Stahl, die rechte aus Gips!

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References:
[1] Sp?tere Untersuchungen haben mir leider gezeigt, da\(\backslash\) man auf diese Weise nicht zu einer befriedigenden Theorie der Elektronen gef?hrt wird.
[2] G. Y. Rainich, Nature Nr. 2892,115 (1925), S. 498.
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