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Quantentheorie und 5-dimensionale Relativitätstheorie. (German) JFM 52.0970.09
Verf. verwendet Kaluzas fünfdimensionalen Fundamentaltensor in der Form \(\gamma_{ik}=g_{ik}+\alpha\beta^2\,\varphi_i\,\varphi_k\), wo \(g_{ik}\) den raumzeitlichen Fundamentaltensor bedeutet, \(\gamma_{00}=\alpha\) und \(\gamma_{0i}=\alpha\beta\varphi_i\) gilt mit Konstanten \(\alpha\), \(\beta\) und elektromagnetischen Potentialen \(\varphi_i\). Die zugrunde liegende Transformationsgruppe hat die Gestalt: \[ \begin{aligned} &x^0=x^{0\prime}+\psi_0\,(x^{1\prime},x^{2\prime},x^{3\prime}, x^{4\prime}),\\ &\,x^i=\qquad \psi_i\,(x_1^\prime,x_2^\prime,x_3^\prime,x_4^\prime) \qquad\quad(i=1,2,3,4)\,.\end{aligned} \] In dieser Geometrie lassen sich die Feldgleichungen der gewöhnlichen Relativitätstheorie in dem Variationsprinzip \(\delta I=0\) zusammenfassen, wo \(I=\int P\sqrt{-\gamma}\,dx^0\, dx^1\,dx^2\,dx^3\,dx^4\), \(\gamma=|\,\gamma_{ik}\,|\), \[ \lower6pt\hbox{\(P=\textstyle \sum\limits_{i,k=0}^{4} \displaystyle \gamma^{ik}\)}\left[ \lower6pt\hbox{\(\dfrac{\partial \displaystyle\thickfracwithdelims\{\}\thickness{0}{i\mu}{\mu}\textstyle} {\partial x^k} \dfrac{\partial\displaystyle\thickfracwithdelims\{\}\thickness{0}{ik}{\mu} \textstyle} {\partial x^\mu}+ \displaystyle\thickfracwithdelims\{\}\thickness0{i\mu}{\nu}\textstyle \displaystyle\thickfracwithdelims\{\}\thickness0{k\nu}{\mu}\textstyle -\displaystyle\thickfracwithdelims\{\}\thickness0{ik}{\mu}\textstyle \displaystyle\thickfracwithdelims\{\}\thickness0{\mu\nu}{\nu} \textstyle\)}\right]\;\,\lower6pt\hbox{.} \] Die Bewegungsgleichungen der elektrischen Teilchen ergeben sich dabei als geodätische Linien im fünfdimensionalen Kontinuum. Man kann nun diese Bewegungsgleichungen mit den Strahlengleichungen einer durch \[ \textstyle \sum\limits_{i,k=0}^{4} \displaystyle a^{ik}\,\biggl(\frac{\partial ^2\,U}{\partial x^i\,\partial x^k} \textstyle \sum\limits_{r=0}^{4} \displaystyle \displaystyle\thickfracwithdelims\{\}\thickness0{ik}{r}\textstyle \,\frac{\partial U}{\partial x^r}\biggr)=0 \] bestimmten Wellenausbreitung identifizieren. Zu diesem Zweck werden die Strahlen als geodätische Nullinien der Differentialform \(\sum\limits_{i,k=0}^{4}a_{ik}\,dx^i\,dx^k\) berechnet durch den speziellen Ansatz \[ \textstyle \sum\limits_{i,k=0}^{4} \displaystyle a_{ik}\,dx^i\,dx^k=\mu(d\vartheta)^2+ ds^2\,,\;\;d\vartheta=dx^0+\beta\varphi_i\,dx^i, \] mit passend gewählter Konstanten \(\mu\). Z. B. ergibt sich für \(\beta=\dfrac{e}{c}\) \[ \begin{aligned} &\mu=\frac{1}{M^2\,c^2}\quad\text{für\;\;den\;\;Wasserstoffkern,}\\ &\mu=\frac{1}{m^2\,c^2}\quad\text{für\;\;das\;\;Elektron.}\end{aligned} \] Bei dieser Auffassung erscheint die physikalisch beobachtbare Bewegung als eine Art Projektion einer Wellenausbreitung in einem fünfdimensionalen Kontinuum auf das vierdimensionale raumzeitliche Kontinuum; die Hamilton-Jacobische Gleichung wird entsprechend als Charakteristikengleichung einer fünfdimensionalen Wellengleichung aufgefaßt. (VII 2.)

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