Zur Hilbertschen Beweistheorie. (German) JFM 53.0041.02

von Neumann, J.

M. Z. 26, 1-46 (1927).

Die Arbeit enthält Untersuchungen über das Problem der Widerspruchsfreiheit der Mathematik im Rahmen der durch D. Hilbert begründeten Beweistheorie. Der von v. Neumann benutzte Formalismus unterscheidet sich in mancher Hinsicht von dem Hilbert-Bernays’schen, dürfte aber wohl keine Vereinfachung bedeuten. Die Axiome, deren Widerspruchsfreiheit zu erweisen sind, zerfallen beim Verf. in die folgenden Gruppen: 1. die finiten Gruppen, 2. die \(\tau\)-Gruppe, 3. die Funktionengruppe, 4. die Definitionsgruppe. Unter die 1. Gruppe fallen die Axiome des Aussagenkalküls, die Axiome der Identität und die Peanoschen Axiome mit Ausnahme des Axioms der vollständigen Induktion. Die \(\tau\)-Gruppe enthält die Axiome für “alle” und “es gibt” in der von Hilbert angegebenen Formulierung. Das Axiom der 3. Gruppe sagt aus, daß jedes Funktional (nach der Hilbertschen Terminologie) mit freien Variablen als Funktion aufgefaßt werden darf. Die Axiome der Definitionsgruppe sind nicht notwendig, sondern ermöglichen nur unter Umständen eine bequemere Schreibweise.
In einem zweiten Teil führt der Verf. den Widerspruchsfreiheitsbeweis für die 1., 2. und 4. Gruppe mit ähnlichen Methoden, wie sie von D. Hilbert im Grundgedanken angegeben und von W. Ackermann näher ausgeführt worden sind. Ein Vorzug ist, daß hier für die Anzahl der Zahlzeichen, die für die \(\tau\)-Ersetzungen in Frage kommen, eine feste Grenze angegeben wird. Dagegen gelingt nicht der Widerspruchsfreiheitsbeweis für die 3. Gruppe. Die vollständige Induktion erscheint bei v. Neumann nicht als besonderes Axiom, sondern sie wird auf die Axiome der 3. Gruppe zurückgeführt; ihre Widerspruchsfreiheit bleibt also ebenfalls problematisch. – In einem Anhang vergleicht der Verf. seine Ergebnisse mit denen von W. Ackermann, der sich in seiner Arbeit “Begründung des tertium non datur usw.” (Math Ann. 93 (1924); F. d. M. 50, 23-24) mit demselben Problem befaßt hat. Verf. bemerkt mit Recht, daß in der genannten Arbeit noch kein Widerspruchsfreiheitsbeweis für die klassische Mathematik, sondern nur für einen engeren Bereich gegeben ist; er hebt aber nicht genügend hervor, daß die Ergebnisse seiner Arbeit auch die Widerspruchsfreiheit dieses engeren Bereiches nicht begründen, da die Widerspruchsfreiheit der vollständigen Induktion und der Rekursionsfunktionen nicht gezeigt wird.

Reviewer: Ackermann, W., Dr. (Münster i. W.)

JFM Section:

Erster Abschnitt. Geschichte, Philosophie und Pädagogik. Kapitel 2. Philosophie.

References:

[1]

D. Hilbert, Neubegr?ndung der Mathematik. I. [Abhandlungen des Math. Sem. der Hamb. Univ.1 (1923), S. 157-175. Die logischen Grundlagen der Mathematik [Math. Annalen88 (1923), S. 151-165]. P. Bernays, Erwiderung auf die Note von Herrn Aloys M?ller ??ber Zahlen als Zeichen? [Math. Annalen 90 (1923), S. 159-163]. W. Ackermann, Begr?ndung des Tertium non datur mittels der Hilbertschen Theorie der Widerspruchfreiheit [Math. Annalen92 (1924), S. 1-35]. · JFM 48.1188.01 · doi:10.1007/BF02940589

[2]

?Vgl. die in Fu?note. zitierten Arbeiten von Hilbert und Ackermann, sowie die Kommentare zur Gruppe I in ? B. 3. · JFM 48.1188.01 · doi:10.1007/BF02940589