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Algebraische Erweiterungen kummutativer hyperkomplexer Systeme. (German) JFM 53.0116.02
Jede endliche algebraische Erweiterung \(S\) eines kommutativen hyperkomplexen Systems \(R\) kann vom Grundbereich \(R\) aus in drei charakteristischen Schritten gewonnen werden: In dem zwischen \(R\) und \(S\) gelegenen eindeutig bestimmten Zerlegungsring \(R_z\) zerfällt jedes Primideal \({\mathfrak p}\) von \(R\) in das eindeutige Produkt untereinander verschiedener Primideale, deren Restklassenkörper sämtlich dem Restklassenkörper \(R | {\mathfrak p}\) isomorph sind. Ist \(R\) vollkommen, d. h. sind die Restklassenkörper nach allen Primidealen aus \(R\) im Sinne von \(E\). Steinitz vollkommen, so bleibt zwar in dem zwischen \(R_z\) und \(S\) gelegenen eindeutig bestimmten Trägheitsring \(R_t\) jedes Primideal \({\mathfrak p}_z\) von \(R_z\) Primideal, doch wird der Restklassenkörper \(R_t | {\mathfrak p}_z \cdot R_t\) im allgemeinen eine echte endliche algebraische Erweiterung des Restklassenkörpers \(R_z | {\mathfrak p}_2\). Im Verzweigungsring \(R_v = S\) schließlich zerfallen die Primideale \({\mathfrak p}_t\) von \(R_t\) im allgemeinen in wirkliche Primärkomponenten, für die die Restklassenkörper nach den zugehörigen Primidealen zu \(R_t | {\mathfrak p}_t\) isomorph werden. – Bedeutet \({\mathfrak h}\) die Hauptordnung (das System aller ganzen algebraischen Zahlen) eines beliebigen endlichen algebraischen Zahlkörpers, \({\mathfrak o}\) eine beliebige zum gleichen Körper gehörige Unterordnung von \({\mathfrak h}\) mit dem Führer \({\mathfrak f} = {\mathfrak o}\,:\,{\mathfrak h} \neq (0)\), so kann man, da der Restklassenring nach einem vom Nullideal verschiedenen Ideal ein hyperkomplexes System bildet, unter Benutzung der Dedekindschen Theorie der zum Führer teilerfremden Ideale durch Anwendung der vorhin skizzierten Resultate auf die Ringe \(R = {\mathfrak o}\,|\,{\mathfrak f}\) und \(S = {\mathfrak h}\,|\,{\mathfrak f}\) zwischen \({\mathfrak o}\) und \({\mathfrak h}\) einen eindeutig bestimmten Zerlegungs-(Trägheits-)Ring einschalten, der hinsichtlich sämtlicher Primideale aus \({\mathfrak o}\) die soeben auseinandergesetzten charakteristischen Eigenschaften des Zerlegungs-(Trägheits-)Ringes besitzt. – Auf die Analogie zu den bekannten Hilbertschen Entwicklungen über die für ein Primideal eines Galois’schen Zahlkörpers charakteristischen Unterkörper wird kurz hingewiesen. (II 7.)

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References:
[1] Zur endg?ltigen axiomatischen Festlegung der hyperkomplexen Systeme vgl. ? 1. Die hier als ?hyperkomplexe Systeme? bezeichneten Bereiche sind identisch mit denjenigen Ringen, die ich in den Arbeiten: Algebraische Theorie der Ringe I und II (Math. Ann.88 (1922), S. 80-122 bzw.91 (1924), S. 1-46) ausf?hrlich untersucht habe. In Zukunft werden die genannten Arbeiten mit A. I und A. II zitiert.
[2] Unter einem endlichen Zahlk?rper verstehen wir einen K?rper der aus dem der rationalen Zahlen durch eine endliche algebraische Erweiterung entsteht (nicht etwa einen K?rper mit endlich viel Elementen).
[3] Im folgenden werden die Grundbegriffe der allgemeinen Idealtheorie als bekannt vorausgesetzt. Vgl. die Zusammenstellungen in A. I. ? 1, sowie Krull: Ein neuer Beweis usw., Math. Annalen70 (1923), ? 2.
[4] Vgl. die axiomatische Einf?hrung der allgemeinen hyp. S. in A. II ? 2, die mir indes weniger naturgem?? zu sein scheint als die hier gegebene; vgl. auch A. II ? 3, wo gezeigt wird, da? die gew?hnlichen endlichen kommutativen hyp. S. unter unsere Ringe geh?ren. Das ?Endlichkeitsaxion 2? des Textes kann auch kurz so formuliert werden: ?Jede Idealquotientenkette bricht im Endlichen ab?. Es bedeutet eine wesentlich schw?chere Voraussetzung als der ?Satz von der endlichen Kette?: ?Jede Teilerkette bricht im Endlichen ab? (vgl. ? 4).
[5] Zur eindeutigen additiven Zerlegung vgl. insbesondere E. Noether und W. Schmeidler: Moduln in nichtkommutativen Bereichen usw., Math. Zeitschr.8 (1910), S. 1-35, ? ? 4 und 5, sowie A. II ? 2. Au?erdem E. Noether, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie, Math. Ann.96 (1926), ? ? 4, 5 und die Zusammenstellung in ? 3 der Diskriminantenarbeit Journ. f. Math. Jubil?umsband 1926. · JFM 47.0097.03 · doi:10.1007/BF01212856
[6] Vgl. E. Noether, Idealtheorie in Ringbereichen, Math. Ann.83 (1921), S. 23 bis 66 ? 10, sowie die dort ?ber Polynomideale angegebene Literatur. · JFM 48.0121.03
[7] Dies hier nebenbei gewonnene Ergebnis bildet den Hauptsatz von A. I. ? 5.
[8] Vgl. A. I ? 3, wo Spezialf?lle unseres Satzes behandelt sind.
[9] Vgl. E. Noether, Eliminationstheorie und allgemeine Idealtheorie, Math. Ann.90 (1923); einfacher bei v. d. Waerden, Zur Nullstellentheorie der Polynomideale, Math. Ann.96 (1926).
[10] Hingegen soll unter dem Wort ?algebraische Erweiterung? stets eine echte Erweiterung vonR im Sinne der zu Beginn des Paragraphen gegebenen Definition verstanden werden.
[11] Vgl. A. II ? 1, S. 7.
[12] ?ber vollkommene und unvollkommene K?rper vgl. Steinitz, Algebraische Theorie der K?rper, Journal f. Math.137 (1910), S. 167-309, insbesondere ? 11.
[13] Die hier zur Konstruktion des Tr?gheitsringes benutzte Schlu?weise findet sich h?ufig in A. I. und A. II, z. B. A. I. ? 10, A. II ? 4, 6 und 7. ?Der Tr?gheitsring vonR q hinsichtlichR ist im allgemeinen keine ?regul?r algebraische? Erweiterung vonR q im Sinne von A. I. und A. II. Es kann n?mlich zwischen endlich viel Elementen ausR t eine lineare Relation mit Nullteilerkoeffizienten ausR bestehen, ohne da? sich eines von ihnen linear durch die ?brigen ausdr?cken lie?e.R t besitzt daher hinsichtlichR im allgemeinen keine ?regul?re Modulbasis? im Sinne von A. II ? 4.
[14] Vgl. dazu die in 7) zitierte Arbeit: E. Noether, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie ..., Einleitung.
[15] Nach Dedekind: ?ber die Anzahl der Idealklassen in den verschieden Ordnungen eines endlichen K?rpers, Gau?-Festschrift Braunschweig 1877.
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