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Über nicht-archimedisch geordnete Körper. (Beiträge zur Algebra 5.). (German) JFM 53.0118.01

Sitzungsberichte Heidelberg 1927, 8. Abh., 3-13 (1927).
Jede – a priori nicht notwendig Archimedische - Ordnung eines Körpers \(K\) entsteht aus einer Archimedischen ”Ordnung im großen”, deren Fortsetzung sie ist. Diese Ordnung im großen ist nicht für alle Elemente von \(K\) festgelegt, sondern nur für je zwei Elemente aus voneinander verschiedenen bestimmten Restklassen nach einer Nullklasse \(N\), die genau aus der Gesamtheit der bez. eines Unterkörpers \(P\) “unendlich kleinen” Elemente von \(K\) besteht. Und umgekehrt führt jede vorgegebene (sich nachträglich als Archimedisch erweisende) Ordnung im großen, d. h. jede Ordnung des zu einer Nullklasse \(N\) in gewisser Weise definierten Klassensystems \(K|N\), zu einer Ordnung von \(K\), die ihre Fortsetzung bildet. Doch vermögen nicht sämtliche Nullklassen \(N\) von \(K\) eine “Ordnung im großen” zu erzeugen, sondern alle und nur diejenigen, für die
1. \(N\) Untermenge des Systems \(N_0\) der bez. des Primkörpers \(P_0\) unendlich kleinen Elemente von \(K\) wird, und
2. der bez. \(N_0\) im Sinne einer Wachstumsordnung definierte Rang jedes Elementes von \(N\) kleiner ist als der jedes nicht zu \(N\) gehörigen Elementes von \(K\).

MSC:

12J25 Non-Archimedean valued fields
12J15 Ordered fields