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Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes. (German) JFM 53.0144.04
Die in einer früheren Arbeit des Verf. vermutungsweise ausgesprochene und in Spezialfällen auch bestätigte Formulierung des allgemeinen Abelschen Reziprozitätsgesetzes in einem beliebigen algebraischen Zahlkörper \(k\) wird in vollem Umfange und auf einheitlichem, gedanklich sehr einfachem Wege, ohne Bezugnahme auf frühere Reziprozitätsgesetz-Beweise, bewiesen. Das Gesetz lautet:
Es sei: \(K\) ein relativ-Abelscher Körper über \(k\),
\(\phantom{\text{Es sei: }}\mathfrak{G}\) die Galois’sche Gruppe von \(K/k\),
\(\phantom{\text{Es sei: }}G\) die Klassengruppe derjenigen Idealklasseneinteilung in \(k\), zu der \(K\)
\(\phantom{\text{Es sei: }G }\) als Klassenkörper gehört.
Wird dann jedem nicht in der Relativdiskriminante von \(K/k\) aufgehenden Primideal \(\mathfrak{p}\) aus \(k\) diejenige Substitution \(\sigma_{\mathfrak{p}}\) aus \(\mathfrak{G}\) zugeordnet, für die die Kongruenz \[ \sigma_{\mathfrak{p}}A\equiv A^{N(\mathfrak{p})}\text{mod}. \, \mathfrak{p} \] für jede ganze Zahl \(A\) aus \(K\) gilt, so hängt \(\sigma_{\mathfrak{p}}\) nur von der Klasse \(C_{\mathfrak{p}}\) aus \(G\) ab, der \(\mathfrak{p}\) angehört, und die Zuordnung \(C_{\mathfrak{p}}\longleftrightarrow \sigma_{\mathfrak{p}}\) ist eine Darstellung des (nach der Klassenkörpertheorie bestehenden) Isomorphismus zwischen \(G\) und \(\mathfrak{G}\).
Dieses Gesetz umfaßt die Grundaussage des bisher bekannten allgemeinen Reziprozitätsgesetzes für Primzahlexponenten als Spezialfall (\(K/k\) relativ-zyklisch vom Primzahlgrad).

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References:
[1] Vgl. Bd. 3 dieser Abhandlungen S. 89.
[2] N. Tschebotareff, Die Bestimmung der Dichtigkeit einer Menge von Primzahlen, welche zu einer gegebenen Substitutionsklasse gehören. Math. Ann. 95 (1925), S. 191. Vgl. auch O. Schreier, Über eine Arbeit von Herrn Tschebotareff, diese Abh, Bd. V, S. 1. · JFM 51.0149.04 · doi:10.1007/BF01206606
[3] T. Takagi Über eine Theorie des relativ Abelschen Zahlkörpers, Journal of the College of Science, Tokyo 1920. · JFM 47.0147.03
[4] Ph. Furtwängler, Die Reziprozitätsgesetze für Potenzreste mit Primzahlexponenten in algebraischen Zahlkörpern, Math. Ann. 67 (1909), insbesondere S. 27. Vgl. auch Ph. Furtwängler, über die Reziprozitätsgesetze für Primzahlpotenzexponenten, Crelle, Bd. 157 (1927), S. 15.
[5] T. Takagi Über das Reziprozitätsgesetz ill beliebigen algebraischen Zahlkorpern. Journal of the College of Science, Tokyo 1922, S. 2. · JFM 48.0169.01
[6] Siehe die unter4) zitierten Arbeiten.
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