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Das Eisensteinsche Reziprozitätsgesetz der \(n\)-ten Potenzreste. (German) JFM 53.0145.02
In Ergänzung der Arbeit von Furtwängler “Über die Reziprozitätsgesetze für Primzahlpotenzexponenten” (J. f. M. 157 (1926), 15-25; F. d. M. 52) beweist Hasse das Eisensteinsche Reziprozitätsgesetz der Potenzreste eines beliebigen Exponenten \(n\) mit einer Einschränkung, wenn \(n\) durch \(8\) teilbar ist. Der bewiesene Hauptsatz lautet: “Es sei \(n\) eine natürliche Zahl, \[ n = \prod\limits_{i=1}^z l_i^{\nu_i} \qquad (\nu_i >0) \] ihre Zerlegung in Potenzen verschiedener Primzahlen \(l_i\), ferner \(\mathfrak{l}_{i\nu_i}\) das in \(l_i\) aufgehende Primideal des Körpers der \(l_i^{\nu_i}\)-ten Einheitswurzeln, \(k\) ein algebraischer Zahlkörper endlichen Grades, der die \(n\)-ten Einheitswurzeln enthält, und \(\mathfrak{L}\) das Produkt der verschiedenen in \(l_i\) aufgehenden Primideale von \(k\).
Ist dann \(q\) eine Primzahl mit den Kongruenzeigenschaften \[ g^{l_i-1}\equiv 1 \; (\text{mod }l_i^{\nu_i}) \qquad (i=1,2,\ldots,z) \] und \(\alpha\) eine zu \(n\) und \(q\) prime Zahl aus \(k\) mit den Kongruenzeigenschaften \[ \alpha\equiv \xi_i^{l_i} (\text{mod } \mathfrak{l}_{i\nu_i}\mathfrak{L}_i) \quad (\xi_i \text{ in } k), \qquad (i=1,2,\ldots, z), \] so gilt für das Symbol der \(n\)-ten bzw. \(\dfrac{n}{2^2}\)-ten Potenzreste in \(k\) das Reziprozitätsgesetz \[ \begin{gathered} \left(\dfrac{\alpha}{q}\right)_n =\left(\dfrac{q}{\alpha}\right)_n, \quad \text{wenn } n\not\equiv 0 \; (\text{mod } 2^3), \\ \left(\dfrac{\alpha}{q}\right)_{\tfrac{n}{2^2}} = \left(\dfrac{q}{\alpha}\right)_{\tfrac{n}{2^2}}, \quad \text{wenn } n\equiv 0 \; (\text{mod } 2^3).\text{''} \end{gathered} \] Zu bemerken wäre noch, daß die Beweisführung das Eisensteinsche Reziprozitätsgesetz für eine ungerade Primzahl nicht voraussetzt und ebensowenig das quadratische Reziprozitätsgesetz, sondern die Beweise für diese Spezialfälle in sich enthält.

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References:
[1] ?ber die Reziprozit?tsgesetze f?r Primzahlpotenzexponenten, Journ. f. d. reine u. angew. Math.157 (Jub.-Bd. I) (1926), S. 15.
[2] Siehe etwa D. Hilbert, ?Zahlbericht?, Jahresber. d. Dtsch. Math. Ver.4 (1897), Kap. XXIV, XXV. ? Im folgenden zitiert mit Z.B.
[3] Im weiteren Verlaufe des Beweises wird ? der Reduktion des ? 1 zufolgediese Reziprozit?tsbeziehung nur f?r den Spezialfalln=l ? gebraucht. Jedoch macht ihre Herleitung f?r beliebigesn keine anderen ?berlegungen erforderlich als f?r jenen Spezialfall.
[4] F?ru=0, d. h.b=(1) soll das Produkt 1 bedeuten.
[5] Im Fallen?0 mod 23 mitn/22 stattn.
[6] Der hierf?r im Falle einer Primzahln=l in meiner Arbeit: ?ber das allgemeine Reziprozit?tsgesetz derl-ten Potenzreste ..., Journ. f. d. reine u. angew. Math.154 (1925), S. 96 gegebene Beweis macht von der Primzahleigenschaft vonl keinerlei Gebrauch und ?bertr?gt sich daher ohne weiteres auf beliebigesn.
[7] Im Fallel=2,v?3 ist dabei in der letzten Relation rechts unten beiderseits 2 v?2 statt 2 v zu schreiben, was nach (9) sicher zul?ssig ist.
[8] Siehe K. Hensel, Die multiplikative Darstellung der algebraischen Zahlen f?r den Bereich eines beliebigen Primteilers, Journ. f. d. reine u. angew. Math.146 (1916), S. 189. · JFM 46.0251.01 · doi:10.1515/crll.1916.146.189
[9] Siehe hierzu auch einfach Z. B. Satz 125.
[10] Siehe hierzu Z.B. Satz 48.
[11] Im Fallel=2 ist die Behauptung (49 a) von Satz 5 schon auf Grund von Satz 4 richtig, weil dann die Voraussetzung (48a) der in Satz 4 gemachten Voraussetzung (48) gleichkommt. Die Behauptung (49b) dagegen geht ?ber Satz 4 hinaus.
[12] Siehe etwa meinen ?Bericht ?ber neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlk?rper?, Teil I (Jahresber. d. D. M.-V.35 (1926)), Satz 19.?Im folgenden zitiert mit B.
[13] B. Satz 11.
[14] B. Satz 13.
[15] Nach dem auf S. 619, Anm.12) Siehe etwa meinen ?Bericht ?ber neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlk?rper?, Teil I (Jahresber. D. M. M.-V.35 (1926)), Satz 19.?Im folgenden zitiert mit B. zitierten Satz.
[16] F?rl?2 k?nnen die (84b) entsprechenden Relationen (84?), (84?) nicht so einfach unter Anwendung von (11) bewiesen werden, weil dasl v -te Potenzrestsymbol ink l v ?1 keinen bestimmten Sinn hat.
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