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Über das Piltzsche Teilerproblem in algebraischen Zahlkörpern. I, II. (German) JFM 53.0153.02
Für einen beliebigen algebraischen Zahlkörper \(K\) vom Grade \(k\) sei \(\zeta_K (s)\) die Dedekindsche Zetafunktion, und es sei \[ Z (s) = \zeta^m_K (s) = \sum_{\nu = 1}^\infty \frac {F(\nu)}{\nu^s}. \] Die summatorische Funktion \[ H(x)= \sum_{\nu \leqq x} T(\nu) \] ist dann asymptotisch gleich der Residuensumme \(R (x)\) von \(Z (s) \dfrac{x^s}s\) in \(s = 0\) und \(s = 1\). Das Problem der Bestimmung der Größenordnung von \(P (x) = H(x) - R(x)\) enthält viele jetzt klassische Probleme der analytischen Zahlentheorie als Spezialfall und wird als Piltzsches Teilerproblem im Körper \(K\) bezeichnet. Die vorliegenden beiden Abhandlungen sind Beiträge zum \(\varOmega\)-Problem für \(P (x)\). Die erste Abhandlung enthält die direkte Anwendung einer Methode, welche von Szegö stammt und von diesem auf das “Kreis-Kugelproblem” angewendet worden ist [Math. Z. 25, 388–404 (1926; JFM 52.0175.03)]. Es wird der Ausdruck (\(\xi > 0\)) \[ \frac 1{n!} \int_0^\infty e^{-u} u^n P\left(\xi u^{\frac 12 mk} \right)du \] asymptotisch ausgewertet; hieraus läßt sich dann mit Hilfe eines Satzes über Diophantische Approximationen ein \(\varOmega\)-Resultat für \(P (x)\) ableiten. Die zweite Abhandlung enthält wesentlich bessere Resultate, welche erhalten werden durch Anwendung eines Verfahrens, welches Littlewood zum Nachweis von \[ \pi (x) = Li(x) + \varOmega \left(\frac {\sqrt{x} \log \log \log x}{\log x} \right) \] für die Primzahlfunktion \(\pi (x)\) geführt hat. Das Hauptresultat der zweiten Abhandlung ist (die Resultate von I sind in denen von II enthalten):
Für \(mk = 3\), \(mr_1 = 1\) (\(r_1 =\) Anzahl der reellen unter den Konj. v. K), oder für \(mk \geqq 4\) ist \[ P(x) = {{\varOmega_R} \atop {\varOmega_L}} \left((x \log x)^{\tfrac{mk-1}{2mk}} (\log\log x)^{m-1}\right). \] Überdies können die Verf. in diesen Fällen sogar einen \(\varOmega_R\)-\(\varOmega_L\)-Intervall - Satz beweisen.

MSC:
11R47 Other analytic theory
11N37 Asymptotic results on arithmetic functions
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI EuDML
References:
[1] E. Landau, ?ber die Anzahl der Gitterpunkte in gewissen Bereichen (Vierte Abhandlung) [G?ttinger Nachrichten 1924, S. 137-150]. · JFM 50.0115.01
[2] F?r das Piltzsche Teilerproblem vgl. G. H. Hardy, On Dirichlet’s divisor problem [Proceedings of the London Mathematical Society (2)15 (1916), S. 1-25]; f?r die Idealfunktion eines imagin?r-quadratischen K?rpers: G. H. Hardy, On the expression of a number as the sum of two squares [Quarterly Journal46 (1915), S. 263-283]; f?r die Idealfunktion eines beliebigen Zahlk?rpers: A. Walfisz, ?ber die summatorischen Funktionen einiger Dirichletscher Reihen, Inauguraldissertation [G?ttingen: W. Fr. Kaestner, 1922], Satz I.
[3] Vgl. die erste in der vorigen Fu?note angegebene Abhandlung, S. 23-25, wo eine Beweisskizze f?r (1) gegeben wird; die Absch?tzung (2) kann auf analoge Weise abgeleitet werden.
[4] G. Szeg?, Beitr?ge zur Theorie der Laguerreschen Polynome. I.: Entwicklungss?tz? [Math. Zeitschr.25 (1926), S. 87-115]; Beitr?ge zur Theorie der Laguerreschen Polynome. II.: Zahlentheoretische Anwendungen [Math. Zeitschr.25 (1926), S. 388-404]. Diese beiden Arbeiten zitieren wir kurz mit Szeg?, I und Szeg?, II. · JFM 52.0280.04
[5] Vgl. Szeg?, ? S. 94, (6).
[6] A. Walfisz, ?ber das Piltzsche Teilerproblem in algebraischen Zahlk?rpern [Math. Zeitschr.22 (1925), S. 153-188], S. 153, (1. 5). Wir zitieren diese Arbeit kurz mit Walfisz, P.T. · JFM 51.0153.02
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