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Über die Gitterpunkte auf homothetischen Kurven. (German) JFM 53.0157.03
Der Verf. betrachtet in der \(xy\)-Ebene ein Kurvenstück \(L\), das im Gebiet \(x > 0\), \(0 \leq y \leq x\) liegt und von jedem durch den Nullpunkt gehenden, in einem festen Sektor \(u\leq \dfrac{y}{x} \leq v\) des genannten Gebiets verlaufenden Strahl ein- und nur einmal gechnitten wird. Durchläuft der Punkt \(x\), \(y\) die Kurve \(L\), so durchläuft der Punkt \(\sqrt{\lambda} x\), \(\sqrt{\lambda} y\) eine dazu homothetische Kurve \(L(\lambda)\). Zu jedem Punkt \(x,y\) des Sektors gehört ein und nur ein Wert \(\lambda\), der mit \(f(x,y)\) bezeichnet wird. Verf. betrachtet nun die zu sämtlichen im Sektor liegenden Gitterpunkten gehörigen \(\lambda\)-Werte und ordnet die verschiedenen unter ihnen wachsend an. Er gibt bei verschiedenen Formen von \(f(x, y)\) Limesrelationen für \(\lambda_{n+1} - \lambda_n\) bzw. \(\dfrac{\lambda_{n+1} - \lambda_n}{\sqrt{\lambda}}\) \((\lambda_{n+1} - \lambda_n) \sqrt{\lambda_n}\) an.
MSC:
11P21 Lattice points in specified regions
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References:
[1] Alle vorkommenden Zahlen und Punkte sind reell; alle Quadratwurzeln sind positiv zu nehmen.
[2] Diese Voraussetzung ist nicht wesentlich; sie wurde eingef?hrt, nur um unendliche Werte vony/x und die Zweideutigkeit gewisser Funktionen zu vermeiden. Durch Spiegelungen an den Garadenx=0,y=0,y=x,y=?x kann man sich allerdings von dieser Voraussetzung leicht befreien.
[3] Die PunktmengeL ist also ein stetiger Kurvenbogen; die Koordinatenx, y eines Punktes vonL lassen sich z. B. als stetige Funktionen des Parameters ?=y/x (u???v) darstellen.
[4] Die M?glichkeit einer solchen Anordnung folgt sofort aus der Beschr?nktheit vonL.
[5] ? ist dann von selbst positiv.
[6] Die KurveL besitzt also f?rt 1<t<t 2 in jedem Punkte eine wohldefinierte, nicht durch den Nullpunkt gehende Tangente.
[7] ?ber die angen?herte Darstellung der Irrationalzahlen durch rationale Br?che, Math. Annalen39 (1891), S. 279-284.
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