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Sur l’intégration des suites de fonctions sommables. (French) JFM 53.0229.02

Kovanko hat (C. R. 182 (1926), 561; F. d. M. 52) den folgenden Satz aufgestellt: Es sei \(f_1(x),f_2(x),\ldots,f_n(x),\ldots\) eine Folge von summierbaren Funktionen in dem Intervall \(a \leqq x\leqq b,\) die fast überall gegen eine Funktion \(f(x)\) konvergiert. Es sei weiter vorausgesetzt,
1. daß ein bestimmter endlicher Grenzwert \(I(E)\) existiert, so daß \[ I(E)=\lim_{n\to\infty}\int\limits_E f_n(x)\,dx\tag{I} \] ist für jede meßbare Menge \(E\), die im Intervall \((a, b)\) liegt, und
2. daß diese Funktion über der Menge \(E\) stetig und positiv ist. Dann gilt \[ \lim_{n\to\infty} \int\limits_E f_n(x)\,dx=\int\limits_E f(x)\,dx.\tag{II} \] Verf. zeigt nun, daß die zweite Voraussetzung überflüssig ist und daß die Relation (II) stets gilt, wenn der durch (I) definierte Grenzwert \(I(E)\) existiert.

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Full Text: Gallica