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Sur les dérivées et sur les différences des fonctions de variables réelles. (French) JFM 53.0232.02
Bei den vorkommenden Ableitungen handelt es sich nicht nur um Ableitungen ganzzahliger Ordnung, sondern um die Ableitungen irgend einer Ordnung \(\alpha\) im Sinne von Riemann-Liouville. Für ihre Existenz und Stetigkeit werden notwendige und hinreichende Bedingungen angegeben. Eine spezielle Form dieser ist die folgende: Ist \(f(x)\) im Intervall 0,1 stetig, so ist für die Existenz stetiger Ableitungen bis zur Ordnung \(\alpha\) notwendig und hinreichend, daß das Integral \[ \int\limits_0^\infty t^{-\alpha -1}\sum_{v-1}^{\infty}(-1)^{\nu-1}{n\choose{\nu-1}} f(x-\nu t)\,dt \] für \(\alpha < n\) in jedem Intervall \(\delta^2\), l gleichmäßig konvergiert; dabei ist \(f(x) = 0\) für \(x\leqq 0\) gesetzt. Für die Ableitung selber ergibt sich \[ f^{(\alpha)}(x)= \dfrac{\int\limits_0^{\infty} t^{-\alpha-1} \sum\limits_{v=1}^{\infty} (-1)^{\nu-1}{{n}\choose{\nu-1}} f(x-\nu t)\,dt} {\int\limits_0^\infty t^{-\alpha-1}e^{-t}(1-e^{-t})^n\,dt}. \]
Weiter wird die Ableitung mit den Differenzen der Funktion in Verbindung gebracht. Für die Funktion \(f(x)\), die im Intervall 0,1 als beschränkt vorausgesetzt wird, sei \(\omega_n(\delta)\) die obere Grenze der Differenzen \(|\varDelta ^n_h f(x)|\), die sich für alle \(x\) und \(h\) ergeben, für die \(0 \leqq x, x + h \leqq 1\) und \(|h|\leqq \delta\) ist. Es ergibt sich dann u. a. ein von Montel früher auf andere Weise hergeleiteter Satz: Die Funktion \(f(x)\) hat im Intervall 0,1 eine Ableitung der Ordnung \(\alpha\), wenn das Integral \[ \int\limits^1_0 t^{-\alpha-1}\omega_n(t)\,dt \] konvergiert.
Weiter sei aus der Abhandlung noch hervorgehoben ein neuer Beweis eines in in diesen Rahmen gehörigen Satzes von Brouwer, sowie eine Verallgemeinerung des Satzes von H. A. Schwarz über die zweite verallgemeinerte Ableitung.
Zum Schluß dehnt Verf. seine Hauptresultate auf Funktionen mehrerer Variabeln aus.

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Full Text: EuDML