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Ein Beispiel zur Theorie der fastperiodischen Funktionen. (German) JFM 53.0241.02

Das Beispielmaterial für fastperiodische Funktionen bestand bisher nur aus den nichtssagenden reinperiodischen Funktionen und den wenig instruktiven fastperiodischen Funktionen mit absolut konvergenten Fourierreihen. Die Toeplitzschen Beispiele stellen eine wertvolle Erweiterung des Materials dar. – Verf. belegt zunächst das Intervall (1, 2) mit einer Funktion \(f_1(x)\) und setzt reinperiodisch mit der Periode 2 fort; dann wird das Intervall (2, 3) mit einer Funktion \(f_2(x)\) belegt und mit der Periode 4 fortgesetzt, weiter das Intervall (4, 5) mit einer Funktion \(f_3(x)\) (Periode 8) usw. Die so entstehende Belegung \(f(x)\) (über das Intervall (0, 1) wird besonders verfügt) ist vollständig zu übersehen, da sich die reinperiodischen Komponenten nicht überlagern. Es lassen sich notwendige und hinreichende Bedingungen angeben dafür, daß \[ a(\lambda)=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{+T}f(x) \,e^{-i\lambda x}\,dx\;\text{und}\;\lim_{T\to\infty} \frac{1}{2T}\int_{-T}^{+T}|\,f(x)\,|^2\,dx \] existieren. Die Gültigkeit der Parsevalschen Gleichung wird direkt verifiziert. Ferner gelingt es in einfachster Weise, notwendige und hinreichende Bedingungen für Fastperiodizität im Bohrschen Sinne anzugeben, und schließlich lassen sich die Fourierkoeffizienten von \(f(x)\) unmittelbar durch die gewöhnlichen Fourierkoeffizienten der reinperiodischen Komponenten ausdrücken.

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References:

[1] W. Stepanoff, Math. Annalen95 (1926), S. 473-498; N. Wiener, Math. Zeitschr.24 (1926), S. 575-616; S. Bochner, Math. Annalen96 (1926), S. 119-147. · JFM 52.0262.01
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