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The summability of Fourier series. (English) JFM 53.0250.01
In einer früheren Arbeit (Transactions A. M. S. 28, (1926) 695-761; F. d. M. 52) hatte Verf. eine spezielle Form des Riesz’schen Summierungsverfahrens zur Untersuchung divergenter Reihen \(\sum u_\nu(x)\), insbesondere von Fourierreihen, benutzt, indem die Riesz’schen \(\lambda_n = n^\alpha\), \(\alpha>0\), gewählt wurden. Es handelt sich dann um die Betrachtung von \[ \sum_{\nu<\omega}\left(1-\frac{\nu^\alpha}{\omega^{\alpha}}\right)^\delta u_\nu(x), \;\;\delta \geqq 0, \] für stetig \(\to + \infty\) strebendes \(\omega\). Ein allgemeineres Verfahren bekommt man ersichtlich, wenn \(\omega\) nur eine bestimmte Zahlenfolge \(0 < \omega_1 < \omega_2 < \cdots < \omega_\nu \to +\infty\) durchläuft. Liefert das stetige Verfahren einen Grenzwert, so offenbar auch das unstetige. Aber nicht umgekehrt. Diesen Umstand hatte Verf. in der vorigen Arbeit übersehen. Er füllt diese Lücke jetzt dadurch aus, daß er u. a. den folgenden, seines eigentümlichen Typus wegen auch an sich interessanten Äquivalenzsatz beweist: Wenn \(\omega_{\nu+1}-\omega_\nu = o(1)\) und wenn die Verfahren nur auf Fourierreihen angewendet werden, so sind sie äquivalent.
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