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Remarque sur les sommes positives des séries trigonométriques. (French) JFM 53.0256.01

Bulletin Acad. Polonaise (A) 1927, 331-341 (1927).
Verf. betrachtet die trigonometrische Reihe \[ \frac {\sigma_0}2 + \sum_{\nu=1}^\infty(a_\nu \cos \nu x + b_\nu \sin \nu x), \tag{1} \] die überall in \((0, 2\pi)\), mit Ausnahme höchstens einer abzählbaren Menge, gegen eine positive Summe \(s(x) \geqq 0\) konvergiert. Dann ist bekanntlich die Reihe (1) eine Fourierreihe, wenn das Maß des Konvergenzintervalles gleich \(2\pi\) ist; ist aber das Konvergenzintervall der Positivität \(< 2\pi\), so trifft die obige Behauptung nicht mehr zu, wie aus dem Beispiele \(\sum\limits_{\nu=1}^\infty \dfrac{\sin \nu x}{\log \nu}\) zu ersehen ist. Es wird nun bewiesen:
Satz I. Konvergiert die Reihe (1) im Intervalle \((a, b)\), (\(0 \leqq a < b \leqq 2\pi\)) gegen eine nicht negative Summe \(s(x)\), so ist für \(0 < \varepsilon < 1\) \[ \int_a^ b |s(x)|^{1-\varepsilon}\,dx< \infty. \]
Satz II. Im Satze I kann \(\varepsilon = 0\) gesetzt werden, d. h. \(s(x)\) ist integrierbar in \((a,b)\), wenn die Koeffizienten der Reihe (1) den Ungleichungen \[ |a_n| \leqq \eta_n, \;\;|b_n| \leqq \eta_n \] genügen, wobei die Folge \(\{\eta_n\}\) die folgenden Eigenschaften hat:
(1) \hfill \(\eta_0 \geqq \eta_1 \geqq \eta_2 \geqq \cdots\), \hfill (2) \hfill \(\sum \dfrac{\eta^n}n <\infty\) \hfill {}