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Sur la convergence des séries de fonctions orthogonales. (French) JFM 53.0265.04

Für beliebige Orthogonalfunktionen \(\varphi_n(x)\) ist \(\sum c_n\varphi_n(x)\) fast überall konvergent, wenn \(\sum c_n^2\log^2n\) konvergiert.
Für trigonometrische Reihen genügt \(\log n\) anstelle von \(\log^2 n\). Es fragt sich, inwieweit eine ähnliche Verbesserung möglich ist, wenn die \(\varphi_n\) z. B. beschränkt sind. Nach dieser Richtung beweisen die Verfasser:
1. Es gibt ein Orthogonalsystem \(\varphi_n(x)\) in \(0\leqq x\leqq 1\), das nur die Werte \(\pm 1\) annimmt, und eine Folge reeller \(a_n\), sodaß \(\sum a_n^2\) konvergiert, \(\sum a_n \varphi_n\) dagegen überall divergiert.
2. \(W_n>0\), \(W_n=o(\log n)\). Dann lassen sich \(\varphi_n\) der obigen Art und \(a_n\) so wählen, daß \(\sum a_n\varphi_n\) divergiert, \(\sum W_na_n^2\) konvergiert.
\(2'\). Insbesondere gibt es eine fast überall divergente Reihe \(\sum a_n\cos(m_nx+\lambda_n)\) mit konvergenter \(\sum a_n^2\) und wachsenden \(m_n\). Der Beweis wird durch geschickte und kunstvolle Konstruktion der \(\varphi\) erbracht.

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References:

[1] H. Rademacher, Einige S?tze ?ber Reihen von allgemeinen Orthogonalfunktionen [Math. Ann.87 (1922), p. 112].?D. Menchoff, Sur les s?ries de fonctions orthogonales [Fundamenta Mathematicae4 (1923), p. 82]. · JFM 48.0485.05
[2] J. Plessner, Crelle Journal155, Heft 1, p. 15, Ce th?or?me a ?t? ind?pendamment obtenu par M. M. A. Kolmogoroff et G. Seliverstoff et se trouve ? ce moment sous presse.
[3] La d?monstration du th?or?me II est analogue aux raisonnements d?j? employ?s par M. Memchoff dans l’ouvrage ?Sur les s?ries de fonctions orthogonales? (Fundamenta Mathematicae4, p. 99).
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