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Zur Theorie der Orthogonalreihen. (German) JFM 53.0265.05
Bulletin Acad. Polonaise (A) 1927, 81-115 (1927).
Die Arbeit zerfällt in vier lose zusammenhängende Teile.
Im § 1 wird das folgende Problem behandelt: Es sei eine Zahlenfolge \(\{a_\nu\}\) mit einer konvergenten Quadratsumme gegeben; \(\{a_\nu\}\) genüge überdies einer noch anzugebenden Bedingung (Z). Aus diesen Voraussetzungen soll eine Aussage über die Konvergenz bzw. über die Summierbarkeit “fast überall” einer Orthogonalreihe \(\sum a_\nu\varphi_\nu\) gemacht werden. Als Beispiel für die Bedingung (Z) sei erwähnt: Wenn \(\widetilde{w}(n)\) eine monotone Funktion bedeutet, für die \(\lim\limits_{n\to\infty}\widetilde{w}(n)=\infty\), und wenn eine Folge natürlicher Zahlen \(\{n_i\}\) existiert, so daß: \[ \frac {\log n_{i+1}}{\log n_i}<C,\qquad \sum_{i=1}^\infty\frac 1{\widetilde{w}(n_i)}<\infty\,, \] dann folgt aus \[ \sum_{\nu=1}^\infty(\log\nu)^2\widetilde{w}(\nu)a_\nu^2<\infty, \] daß die Orthogonalreihe bei jeder Anordnung und für jedes normierte Orthogonalsystem fast überall konvergiert.
Im § 2 wird u.a. bewiesen: Zu jedem vollständigen, normierten Orthogonalsysteme gibt es im Felde der beschränkten Funktionen eine Funktion \(\psi(x)\), so daß ihre Orthogonalentwicklung nach diesem Systeme auf einer (von \(T\) abhängigen) Menge, für die jeder Punkt des Definitionsintervalles ein Verdichtungspunkt ist, nicht \(T\)-summierbar ist. (\(T\) bedeutet hiebei eine zeilenfinite Toeplitzsche Matrix.) Analoge Sätze werden auch für das Feld der stetigen und der quadratisch integrierbaren Funktionen aufgestellt.
Im § 3 wird u. a. der Satz bewiesen: Wenn für ein vollständiges, normiertes Orthogonalsystem eine beschränkte Funktion existiert, für welche \(\sum\limits_{\nu=1}^\infty|h_\nu|^{2-\varepsilon}=\infty\) für jedes \(\varepsilon > 0\), so gibt es auch eine stetige Funktion mit derselben Eigenschaft (\(h_\nu\) sind die Fourierkoeffizienten dieser beschränkten Funktion in bezug auf das gegebene Orthogonalsystem).
Im § 4 wird u. a. gezeigt, daß, wenn die Orthogonalfunktionen des Systems unterhalb einer quadratisch integrierbaren Funktion liegen, die Orthogonalreihe die Eigenschaft “c” besitzt, d. h. daß aus der Konvergenz fast überall immer \(\lim\limits_{n\to\infty} a_n=0\) folgt, und daß sie die mit “c” äquivalente Eigenschaft “d” hat, d. h. daß aus der Konvergenz fast überall von \(\sum\limits_{n=1}^\infty|a_n||\varphi_n(x)|\) immer \(\sum\limits_{n=1}^\infty|a_n|<\infty\) folgt.

Subjects:
Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Allgemeine Theorie der reellen Funktionen. D. \textit{Trigonometrische Reihen und Verwandtes}.