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Sur l’application de la première moyenne arithmétique dans la théorie des séries de fonctions orthogonales. (French) JFM 53.0267.04

Die \(\varphi_\nu(x)\) bilden ein System reeller, im Intervall \((\text{ab})\) normierter und orthogonaler Funktionen, die \(a_r\) eine Folge reeller Zahlen, für die die Summe der Quadrate endlich bleibt. \(s_n\) sei die \(n\)-te Teilsumme, \(\sigma_n\) das \(n\)-te arithmische Mittel der Reihe \(R = \sum\limits_{r=0}^\infty a_r \varphi_r (x)\).
Gestützt auf den Hilfssatz, daß fast überall in \((\text{ab})\) gilt: \[ \frac{(s_0-\sigma_0)^2 +(s_1-\sigma_1)^2 +(s_2-\sigma_2)^2 +\cdots+ (s_n-\sigma_n)^2}{n+1} \to 0, \] wird mit Hilfe elementarer Schlüsse folgendes Theorem bewiesen:
Ist in einem Bereich die Reihe \(R\) summierbar nach dem Verfahren des ersten arithmetischen Mittels und zwar mit der Summe \(s\), so gilt fast überall in diesem Bereich: \[ \lim_{n\to\infty} \frac{(s - s_0) + (s - s_1) + \cdots + (s - s_n)}{n+1} = 0 \] oder, was dasselbe ist: \[ \lim_{n\to\infty} \frac{(s - s_0)^2 + (s - s_1)^2 + \cdots + (s s_n)^2}{n+1} = 0. \]
Aus dem nämlichen Hilfssatz läßt sich unmittelbar das folgende Theorem erschließen:
Wenn die Reihe \(R\) summierbar ist nach dem Verfahren von Poisson, dann ist sie fast überall im Bereich auch summierbar nach dem Verfahren des ersten arithmetischen Mittels.
Dieser letzte Satz läßt sich, wie man unter Heranziehung zweier weiterer einfacher Hilfssätze beweisen kann, dahin erweitern, daß man die hier auftretende \((C\, 1)\)-Summierbarkeit durch \((C\,\varepsilon)\) \((\varepsilon >0 )\)-Summierbarkeit ersetzen kann.

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Full Text: DOI EuDML