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Developments in Hermite polynomials. (English) JFM 53.0271.01
Es sei \(H_n(x) = (- 1)^ne^{x^2} \dfrac{d^ne^{-x^2}}{dx^n}\) das \(n\)-te Hermitesche Polynom, ferner existiere das Integral \[ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}f(x) H_n(x)\,dx =c_n2^nn!\sqrt\pi, \qquad (n = 0, \,1,\,\ldots). \] Dann ist \[ c_0H_0(x) + c_1H_1(x) + \cdots+ c_nH_n(x) + \cdots \sim f(x) \tag{1} \] die (formale) Entwicklung von \(f(x)\) nach den Polynomen \(H_n(x)\).
Verf. beweist folgende Sätze über (1):
1. Es existiere \({\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}} e^{-x^2} f^2(x)\,dx\); dann konvergiert die Reihe \(\sum 2^n n !\, c_n^2\).
2. Läßt \(f (x)\) für \(- \infty < x < \infty\) die Darstellung \(f (x) = f (0) +{\displaystyle\int\limits_0^x} f'(x)\, dx\) zu, wobei \({\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}} e^{-x^2}g^2(x)\,dx\) existiert, wenn \(g(x) = 2xf(x) - f'(x)\) ist, und ist außerdem \(f (x) = O(e^{kx^2})\) für ein \(k\) mit \(0 \leqq k < 1\), so konvergiert (1) gleichmäßig gegen \(f(x)\) in jedem endlichen Intervall.
3. Ist \(f (x) = 0\), wenn \(-\infty < x < a\), ferner \(f(x) = 1\), wenn \(a < x < \infty\), und \(f(a) = \dfrac12\), so konvergiert (1) gegen \(f(x)\) für jedes \(x\), und die Konvergenz ist gleichmäßig in jedem endlichen abgeschlossenen Intervall, das den Punkt \(x = a\) nicht enthält.

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