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Über die Grenzfunktionen beschränkter Folgen von analytischen Funktionen. (German) JFM 53.0281.03
1. Längs einem Jordanschen Kurvenbogen \(L\) sei eine Folge von analytischen Funktionen einer komplexen Variablen regulär. Konvergiert diese Folge für jeden Punkt von \(L\), so ist die Grenzfunktion bezüglich jeder perfekten Teilmenge von \(L\) höchstens punktweise unstetig. Ist umgekehrt eine solche Funktion auf \(L\) gegeben, so läßt sie sich als Grenzfunktion von Polynomen auffassen. Ist die Grenzfunktion beschränkt, so können die Polynome gleichmäßig beschränkt gewählt werden, und ist die Grenzfunktion stetig, so ist die Konvergenz bei passender Wahl der Polynome gleichmäßig.
2. Am Außenrande eines Bereiches \(B\) habe ein Jordanscher Kurvenbogen \(L\) teil, und es seien mindestens zwei seiner Punkte von \(B\) aus erreichbar. Sind dann die analytischen Funktionen einer gewissen Folge in \(B\) regulär und gleichmäßig beschränkt und in dem durch \(L\) erweiterten Bereiche fast überall stetig, und konvergieren sie auf \(L\) fast überall, so konvergieren sie auch in \(B\) gegen eine analytische Grenzfunktion, und die in \(B+L\) erklärte Grenzfunktion ist auf dieser Menge fast überall stetig. Die Grenzfunktion ist in \(B\) durch die Grenzwerte auf \(L\) eindeutig bestimmt. Dem Begriff fast überall wird dabei die Maßbestimmung untergelegt, die sich auf \(L\) ergibt, wenn man einen einfach zusammenhängenden Bereich, an dessen Rand \(L\) teil hat, auf einen Kreis konform abbildet. Es wird durch Beispiele erhärtet, daß die Grenzwerte auf \(L\) nicht durchweg die Randwerte der in \(B\) als Grenzfunktion erhaltenen analytischen Funktion sind.

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References:
[1] Acta Math.6 (1885), S. 245. (S. a. Encykl. d. math. Wiss. II B I (Osgood) Nr. 38.)
[2] J. L. Walsh, Über die Entwicklung einer analytischen Funktion nach Polynomen. Math. Annalen96 (1926), S. 430. · JFM 52.0299.04 · doi:10.1007/BF01209179
[3] Dies bleibt jedoch, wenn die Funktionenf n (z) nicht Polynome sind, natürlich nur dann richtig,. wenn dieselben in einem die KurveL enthalt, endeneinjach zusammenhangenden Bereich als regulär vorausgesetzt werden. Wird hingegen bloß Regularität derf n (z) auf der Kurve selbst vorausgesetzt, so ist die Grenzfunktion wiederum nur denselben Bedingungen unterworfen wie in § 1. (Vgl. Hierzu Walsh, Math. Annalen96 (1926), p. 437.) · JFM 52.0300.01 · doi:10.1007/BF01209180
[4] Montel, Leçons sur les séries de polynomes à une variable complexe, Paris 1910, p. 18. · JFM 41.0277.01
[5] Montel, Sur la représentation conforme. Journal de Math. (7)3 (1917), p. 25 (wo jedochgleichmaßige konvergenz längs des Bogens vorausgesetzt wird). ? Ostrowski, Auszug aus einem Briefe an Bieberbach, Jahresber. D. M-V.31 (1922), p. 84-85, sowie: Über die Bedeutung der Jensenschen Formel usw. Acta Univ. Szeged1 (1923), p. 80. ? Khintchine, Sur les suites de fonctions analytiques, Fund. Math.4 (1923), p. 72. ? F.Riesz, Sur les suites de fonctions analytiques, Acta Univ. Szeged1 (1923), p. 88. (Diese Arbeiten enthalten z. T. noch weitere Verallgemeinerungen.)
[6] Siehe z. B. Carathéodory, Vorlesungen über reelle Funktionen (Leipzig und Berlin 1918), S. 546.
[7] Runge, Acta Math.6 (1884), S. 245; s. a. Encykl. d. Math. Wiss. II C 4 (Bieberbach) Nr. 57. · JFM 17.0378.03 · doi:10.1007/BF02400417
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