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Untersuchungen über Dirichletsche Reihen. (German) JFM 53.0310.02
Ist \(\sum\limits_{h=1}^\infty a_n e^{-\lambda_ns}\) mit \(\lambda_1 < \lambda_2 < \cdots < \lambda_n \to 0\) eine Dirichletsche Reihe, so bestehen bekanntlich enge Beziehungen zwischen den Wachstumsverhältnissen der durch die Reihe definierten analytischen Funktion \(f(s)\) “auf senkrechten Geraden” einerseits und den Abszissen \(\alpha_0\) der Konvergenz bzw. \(\alpha_\varkappa\) (\(\varkappa > 0\)) der Riesz’schen \(R_\varkappa\)-Summierbarkeit (erster oder zweiter Art) andererseits. Diese Beziehungen werden vermittels der Lindelöfschen \(\mu\)-Funktion (\(\mu(\sigma) =\) u. G. der \(k\) mit \(f(\sigma + it) = O(|t|^k))\) beschrieben und zwar in Ungleichungen zwischen \(\mu(\sigma)\) und den genannten Abszissen. Die Arbeit zieht in ihrem ersten Teil eine ähnliche Abszissenfunktion \[ \nu(\sigma) = \text{u.G. der} \;k \;\text{mit} \;\int_{-T}^T|f(\sigma + it|^2\,dt=O(T^{2k+1}) \] heran. Hierdurch werden bessere Ungleichungen erzielt.
\(\nu(\sigma)\) ist übrigens in der Halbebene der \(R\)-Summierbarkeit (irgendwelcher Ordnung) definiert und dort, wie \(\mu(\sigma)\), endlich, stetig, konvex, mit \(\sigma\) nicht zunehmend und nicht negativ. Es gilt \[ \mu(\sigma)-\frac 12 \leqq \nu(\sigma) \leqq \mu(\sigma). \]
Von den zahlreichen bemerkenswerten Ungleichungen, die bewiesen werden, seien etwa \[ \nu(\sigma) \leqq \varkappa+\frac 12 \;\;\text{für} \;\;\sigma > \alpha_\varkappa; \;\;\nu(\sigma)\leqq \frac \varkappa 2 \;\;\text{für} \;\;\sigma > \frac{\alpha_\varkappa +\beta}2; \;\;\nu(\sigma) \geqq \varkappa \;\;\text{für} \;\;\sigma \leqq \alpha_\varkappa \] hervorgehoben. \(\beta\) ist hierbei die Abszisse der absoluten Konvergenz.
Interessant ist auch das folgende spezielle Resultat für gewöhnliche Dirichletsche Reihen (\(\lambda_n = \log n)\): \[ \text{Ist} \;\beta= 1 \;\text{und} \;\alpha_\varkappa =-\varkappa \;\text{(z. B. bei} \;\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^s} \;\text{erfüllt), so ist} \;\nu(\sigma) = 0 \;\text{für} \;\sigma\geqq \frac 12 \] und \(\nu(\sigma) = \dfrac 12- \sigma\) für \(\sigma < \dfrac 12\). Das ist die Lindelöfsche Vermutung, aber für die \(\nu\)-Funktion.
Der zweite Teil der Arbeit bringt mit gemeinsamem Beweisansatz zwei bekannte Sätze von Wennberg (1920; F. d. M. 47, 282 (JFM 47.0282.*)) und Landau (M. Z. 10 (1921), 128-129; F. d. M. 48, 342 (JFM 48.0342.*)) über die Anzahl der Nullstellen von \(f(s)\) in ordinatenbeschränkten Halbstreifen, verallgemeinert sie in die Halbebene der \(R\)-Summierbarkeit hinein und ergänzt sie, wie folgt:
Es gebe ein \(\sigma_0\) mit \(|e^{\lambda_1s}f(s) < c\) für \(\sigma > \sigma_0\), und \(f(s)\) sei nicht identisch 0. \(\nu(\sigma_1)\) sei 0. Bezeichnet \(M(T)\) bei festem \(\delta > 0\) die Nullstellenzahl von \(f(s)\) in \(\sigma \geqq \sigma_1 + \delta\), \(|t|\leqq T\), so gilt \[ M(T)=o(T \log T). \]
(Siehe auch Abschn. II, Kap. 8.)
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References:
[1] Wegen der vorkommenden bekannten S?tze ?ber Dirichletsche Reihen verweise ich allgemein auf E. Landau, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Leipzig und Berlin 1909 und auf G. H. Hardy und M. Riesz, The general theory of Dirichlet’s series, Cambridge 1915; ich f?hre diese B?cher untr L. bzw. H. R. an.
[2] Diese Arbeit wurde am 3. Juli 1925 der math.-naturw. Fakult?t der Universit?t G?ttingen als Habilitationsschrift vorgelegt.
[3] g(t)=0(h(t)) bzw.=0(h(t)) soll ausdr?cken, da? beit>t 0 und passendemc stets |g(t)|?ch(t) bzw. f?r jedes ?>0 beit>t 0 (?) stets |g(t)|???h(t) ist; mitc bezeichne ich unterschiedslos positive Konstanten.
[4] Da aus der Summierbarkeit erster ArtR(?, ?)oder zweiter ArtR(e ?, ?) im Punktes 0 die SummierbarkeitR(?, ?)und R(e ?, ?) f?r ?> ?s 0 folgt, ist es gleichg?ltig, welche der beiden Arten hier gemeint ist.
[5] Es kann auchS=?? sein.
[6] Vgl. F. Carlson, Contributions ? la th?orie des s?ries de Dirichlet, Note I, Arkiv f?r Matematik, Astronomi och Fysik16 (1922), N:o 18, S. 2.
[7] Vgl. a. a. O. 6)?, S. 8. ? Satz 2 und 3 wurden k?rzlich angegeben bei F. Carlson, Sur quelques valeurs moyennes d’une fonction analytique, Comptes rendus181 (1925), S. 397-399.
[8] Vgl. T. Jansson, ?ber die Gr??enordnung Dirichlet’scher Reihen, Arkiv f?r Matematik, Astronomi och Fysik15 (1920), N:o 6, S. 2.
[9] Vgl. H. R., S. 53, Theorem 41.
[10] Vgl. E. Landau, Neuer Beweis eines Hauptsatzes aus der Theorie der Dirichletschen Reihen, Berichte der Kgl. S?chsischen Gesellschaft der Wissenschaften69 (1917), S. 336-343.
[11] Vgl. K. Grandjot, ?ber das absolute Konvergenzproblem der Dirichletschen Reihen, Inaugural-Dissertation, G?ttingen 1922, S. 6.
[12] Vgl. a. a. O. K. Grandjot, ?ber das absolute Konvergenzproblem der Dirichletschen Reihen, Inaugural-Dissertation, G?ttingen 1922, S. 9.
[13] Vgl. J. L. W. V. Jensen, Sur les fonctions convexes et les in?galit?s entre les valeurs moyennes, Acta mathematica30 (1906), S. 189. · JFM 37.0422.02 · doi:10.1007/BF02418571
[14] Vgl. L. Neder, ?ber Umkehrungen der Konvergenzs?tze f?r Dirichletsche Reihen, Berichte der S?chsischen Akademie der Wissenschaften74 (1922), S. 99.
[15] H. Bohr, Bidrag til de Dirichlet’ske R?kkers Theori, Dissertation, Kopenhagen 1910, S. 32. · JFM 41.0297.01
[16] Dieser Satz steht f?rL(T)=1 (und mit ?9 stattS) bei E. Landau, ?ber die Nullstellen Dirichletscher Reihen, Mathem. Zeitschr.10 (1921), S. 128-129. · JFM 48.0342.04 · doi:10.1007/BF02102311
[17] Vgl. H. Bohr und E. Landau, Ein Satz ?ber Dirichletsche Reihen mit Anwendung auf die ?-Funktion und dieL-Funktionen. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo37 (1914), S. 269-272. · JFM 45.0716.03 · doi:10.1007/BF03014823
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