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Expansions in Bessel functions. (English) JFM 53.0337.02
Bei komplexem \(\nu\) mit \(\mathfrak R(\nu)\geqq-\dfrac{1}{2}\) bestimme man die Werte \(\varrho=\varrho_k\) derart, daß die mit den Besselschen Funktionen \(J_\nu(x)\) gebildeten Funktionen \[ u_k(x)=\sqrt{x}\,J_\nu\,(\varrho_kx) \] der Randbedingung: 1. \(u_k(1)=0\) oder 2. \(u_k^\prime(1)+Au(1)=0\), wo \(A\) eine Konstante ist, genügen. Für die 1. nach Fourier-Bessel bzw. 2. nach Dini benannte Reihe \[ \displaylines{\rlap{\qquad(R)} \hfill F(x)\sim a_1\,u_1\,(x)+a_2\,u_2\,\,(x)+\cdots, \hfill} \] worin \[ a_k\textstyle\int\limits_0^1\,yJ_\nu^2(\varrho_ky)\,dy= \int\limits_0^1y\,F(y)\,J_\nu(\varrho_ky)\,dy, \] besteht im Intervalle \(0\leqq x\leqq 1\) der folgende Satz, der für reelle \(\nu\) und \(A\) im wesentlichen bereits von W. H. Young bewiesen worden ist:
Falls \(\sqrt{x}\,f(x)\) eine nach Lebesgue integrierbare Funktion ist, so ist die Reihe \(a_1\,\sqrt{x}\,u_1\,(x)+a_2\,\sqrt{x}\,u_2\,(x)+\cdots\) mit der 1. Sinus-Reihe bzw. der 2. Cosinus-Reihe für die Funktion \(\sqrt{x}\,f(x)\) äquikonvergent.
Außerdem betrachtet der Verf. Riesz’sche Summation und Differentiation der Reihe (\(R\)). Die Hilfsmittel sind: asymptotische Entwicklung von \(J_\nu(x)\) und Ansätze von Birkhoff und Tamarkin. (IV 3 D.)

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