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Mathieu functions. (English) JFM 53.0339.04
Ausführliche Darstellung der neuerdings vor allem in England vielfach bearbeiteten Theorie der periodischen Lösungen der Mathieuschen Differentialgleichung, die hier in der Form angenommen ist: \[ y''+(4\alpha-16q\cos 2x)y=0. \] Doch scheint mir auch in dieser Arbeit die theoretische Abrundung gegenüber der Ausbildung rechnerischer, insbesondere numerischer Methoden noch etwas zurückzustehen. Der Gang der Entwicklungen ist, abschnittweise verfolgt, etwa dieser: (1) bringt zunächst die Definitionen, und zwar mit einer neuen Normierung der willkürlichen Faktoren durch die Festsetzung \[ {\frac{1}{2}}\textstyle\int\limits_0^{2\pi} ce_0^2(x,q)\,dx-\int\limits_0^{2\pi} ce_n^2(x,q)\,dx= \int\limits_0^{2\pi}se_n^2(x,q)\,dx=\pi\quad\;(n=1,2,\dots). \] Bei der bisher üblichen Forderung, daß der Koeffizient von \(\cos nx\) bzw. \(\sin nx\) in der Fourierreihe gleich Eins sei, wird nämlich für gewisse Werte von \(q\) die Bestimmung der andern Koeffizienten illusorisch, während bei der neuen Festsetzung dann lediglich das betreffende Glied herausfällt. – (2) Nach Transformation zu \(\mu=cos x\) als unabhängiger Veränderlicher wird die transzendente Gleichung zwischen \(\alpha\) und \(q\) in Kettenbruchform aus der Bedingung gewonnen, daß die zugehörige Lösung eine ganze Funktion von \(\mu\) ist, oder es nach Division mit \(\sqrt{1-\mu^2}\) wird. – (3) bringt Reihenentwicklungen der Gestalt \[ \textstyle\sum\limits_n\displaystyle C_nJ_n\binom{k\,\cos x}{k\,\sin x},\qquad k^2=32q \] nach Besselschen Funktionen (für den einfachsten Fall schon von Heine). Die \(C_n\) erweisen sich als im wesentlichen proportional zu den Fourier-Koeffizienten, und diese Tatsache führt zu einer einfachen Bestätigung der Whittaker-Pooleschen Integralgleichungen. – (4) ist der numerischen Berechnung der charakteristischen Zahlen und der zugehörigen Entwicklungskoeffizienten gewidmet. Es werden fünfstellige Tafeln für diese mitgeteilt, und zwar für \(ce_0\), \(ce_1\), \(ce_2\), \(se_1\), \(se_2\), und \(37\) Werte von \(q\) zwischen 0 und 200.
In (5) werden mit Hilfe der Laplaceschen Transformation asymptotische Entwicklungen für die assoziierten Funktionen \(\frac{1}{i}\,se(ix)\) und \(ce(ix)\) (und die zugehörigen zweiten Lösungen) für \(x\to\infty\) hergeleitet. – (6) gibt asymptotische Entwicklungen für große \(q\); diese sind direkt für die eigentlichen Mathieuschen Funktionen aufgestellt (ohne den Inceschen Umweg über die Funktionen der Periode \(4\pi\); siehe das folgende Referat, insbesondere die Bemerkung auf S. 300 jener Arbeit). Hieraus folgen auch Näherungswerte für die großen Nullstellen der assoziierten Funktionen, diese in Abhängigkeit von \(q\) (bei festem \(x\)) betrachtet. In (7) werden die zweiten, nichtperiodischen Lösungen kurz betrachtet; es wird gezeigt, daß sie von der Form \(xf(x)+g(x)\) sind wobei \(f(x)\) eine Mathieusche Funktion und \(g(x)\) wenigstens periodisch ist. (8) enthält Anwendungen, insbesondere auf Schwingungen einer elliptischen Membran und Gezeiten in einem elliptischen See, mit physikalischen Entwickelbarkeits “beweisen”.