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Die Aufstellung der Klassen- und Ringklassen-Gleichungen der absolut invarianten Modulfunktion. (German) JFM 53.0346.02

Der Verf. berechnet mit Hilfe der Theorie der algebraischen Funktionen Transformationsgleichungen der absolut invarianten Modulfunktion im “singulären Falle”. Die Argumente sind dann solche, für welche komplexe Multiplikation eintritt, d. h. sie liegen in einem quadratisch imaginären Körper. Wegen der großen Zahlenkoeffizienten ist es praktisch unmöglich, in den Transformationsgleichungen einfach die transformierte gleich der ursprünglichen zu setzen. Auch die Zuordnung der Wurzeln zum Argument der Modulfunktion ist im allgemeinen äußerst schwierig. Die Methode besteht darin, daß in Verfolgung eines Kleinschen Gedankens die algebraische Funktion studiert wird, die durch jede Transformationsgleichung definiert wird. Da die zugehörige Riemannsche Fläche sich durch Tschirnhausentransformationen nicht verändert, so wählt man die letztere möglichst einfach und bestimmt die Verzweigungspunkte. So ergibt sich äußerst einfach die Gleichung für den Fall, daß beide Argumente gleich sind (singulärer Fall). Der Verf. berechnet für alle Fälle, wo das Geschlecht null ist, diese Gleichungen und erhält so auf einfache Weise in einer großen Zahl von Fällen die Klassengleichungen. Ein Vorteil ist die konsequente Benutzung der Idealtheorie an Stelle der quadratischen Formen.
Zum Schluß bringt der Verf. in einfacher Folgerung die Kroneckersche Klassenzahlrelation.
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References:

[1] F. Klein, Über die Transformation der elliptischen Funktionen und die Auflösung der Gleichungen fünften Grades. Math. Annalen14 (1879), S. 111 f.; vgl. S. 129 f. Oder: Werke, 3. Bd., Berlin 1923, S. 13 f.; vgl. besonders S. 31. · JFM 10.0069.01
[2] Klein,loc. cit.,, S. 127, oder Werke loc. cit. 3. Bd., Berlin 1923, S. 29.
[3] Vgl. z. B. Klein-Fricke, Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen, 1. Bd., Leipzig 1890, S. 498 unten.
[4] Klein,loc. cit., S. 133., bzw. Werke, loc. cit. 3. Bd., Berlin 1923, S. 35. J. Gierster, Notiz über Modulargleichungen bei zusammengesetztem Transformationsgrad, Math. Annalen14, S. 537 ff., siehe besonders S. 538.
[5] Sie finden sich für die Werte, für welcheg gleich Null ist: Klein,loc. cit., S. 143; bzw. Werke, loc. cit. 3. Bd., Berlin 1923, S. 45/46. J. Gierster, loc. cit. Notiz über Modulargleichungen bei zusammengesetztem Transformationsgrad, Math. Annalen14, S. 541/543.
[6] Klein,loc. cit., S. 141/142; bzw. Werke, loc. cit. 3. Bd., Berlin 1923, S. 44.
[7] J. Gierster, Bemerkung zu dem Aufsatze: ?Notiz über Modulargleichungen bei zusammengesetztem Transformationsgrad?. Math. Annalen26 (1886), S. 590 ff. · JFM 18.0396.01
[8] Vgl. die beiden erwähnten Arbeiten von J. Gierster, Math. Annalen14, S. 540/541 und die Richtigstellung in Math. Annalen26, S. 592.
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