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Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalräumen. (German) JFM 53.0374.01
Eine Gesamtheit \(E\) von mathematischen Gegenstanden heißt ein lineares Vektorfeld \(V\), wenn folgende fünf Axiome erfüllt sind:
I. \(E\) bildet eine kommutative Gruppe mit der Addition als Verknüpfungsgesetz.
II. Für jedes Element \(\mathfrak e\) von \(E\) ist die Gleichung \(\mathfrak e = x + x [= 2x]\) lösbar.
III. \(E\) ist ein vollständiger Raum, in dem der Distanzbegriff gewisse Bedingungen erfüllt. Ist \(\|\mathfrak e \|\) die Entfernung des Elementes \(\mathfrak e\) von Null, so ist die Distanz zweier Elemente gleich \(\| x-y \|\). Für jedes natürliche \(n\) ist \(\| n \cdot \mathfrak e \| = n \cdot \| \mathfrak e \|\).
IV. Es gibt in \(E\) eine endliche oder unendliche Folge von normierten “Basiselementen” \(B = \{\mathfrak e_j\}\), \(\|\mathfrak e_i\| = 1\), sodaß jedes \(\mathfrak e\) eine eindeutige Darstellung \(\mathfrak e = \sum\limits_{i=1}^\infty c_i \mathfrak e_i\) zuläßt.
V. Für jedes feste \(n\) ist \(c_n(\mathfrak e)\) eine beschränkte Funktionaloperation in \(E\), d. h. es gibt ein \(M_n\), sodaß \(\| c_n(\mathfrak e)\| \leqq M_n\|\mathfrak e \|\) für alle \(\mathfrak e\) aus \(E\) ist.
Alle in der Analysis vorkommenden Funktionalräume können zu solchen Vektorfeldern gemacht werden.
\(V\) ist nicht kompakt; um die Methoden der klassischen Analysis anwenden zu können, wird der Untersuchung eine abgeschlossene, kompakte und konvexe Teilmenge \(H\) von \(V\) zugrunde gelegt.
Satz I. Die Funktionaloperation \(F(\mathfrak e)\) sei in \(H\) definiert und stetig und ordne jedem Element von \(H\) wieder ein Element von \(H\) zu. Dann gibt es ein Element \(\mathfrak e_0\) aus \(H\), so daß \(F(\mathfrak e_0) = \mathfrak e_0\) ist (Fixpunktsatz, Verallgemeinerung der Sätze von Birkhoff und Kellogg (Transactions A. M. S. 23 (1922), 96-115; F. d. M. 48, 472 (JFM 48.0472.*)-473)).
Anwendungen von Satz I: 1. In der partiellen Differentialgleichung vom hyperbolischen Typus \(\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} = f(x, y, z, p, q)\) sei \(f\) in einem fünfdimensionalen Würfel um den Nullpunkt definiert und erfülle dort eine Hölder-Lipschitz-Bedingung: \[ \begin{split} |f(x_1 y_1 z_1 p_1 q_1) - f(x_2 y_2 z_2 p_2 q_2)| \leqq C(|x_1 - x_2|^\lambda + |y_1 - y_2|^\lambda \\ + |z_1 - z_2|^\lambda + |p_1 - p_2|^\lambda + |q_1 - q_2|^\lambda); \end{split} \] ferner sei \(f (0, 0, 0, 0, 0) = 0\). Dann gibt es eine Lösung \(z (x, y)\) mit den Randbedingungen \(z(x, 0) = z(0, y) = 0\). Satz I zeigt nämlich, daß die Funktionaloperation \[ U [z (x, y)] = \int\limits_0^x \int\limits_0^y f(x, y, z, p, q)\, dx\, dy \] einen Fixpunkt hat, d. h. daß es ein z gibt, für das \(\int\limits_0^x \int\limits_0^y f (x, y, z, p, q)\, dx\, dy = z\) ist.
2. \(f (x, y, z, p, q)\) genüge wieder der Hölder-Lipschitz-Bedingung. Dann läßt sich die erste Randwertaufgabe bei der Differentialgleichung \(\varDelta z = f (x, y, z, p, q)\) für Kurven von genügend kleinem Durchmesser lösen.
Abänderung von Satz I. Definition: Eine Folge von Elementen \(\psi_n\) aus \(V\) heißt schwach konvergent in bezug auf die Basis \(B\), in Zeichen \(\lim \psi_n \sim \psi\), wenn \(\| \psi_n \| \leqq M\) ist und es in \(V\) ein Element \(\psi\) gibt, so daß \(\lim\limits_{n=\infty}c_m(\psi_n) = c_m(\psi)\) für jedes \(m\) gilt. (\(c_m =\) Koeffizient der Entwicklung nach der Basis.)
Der Begriff des Vektorfeldes wird nun durch folgendes Axiom VI eingeschränkt: Es gibt in \(V\) wenigstens eine Basis \(B\) derart, daß in jeder beschränkten Folge \(\{\psi_n\}\) eine in bezug auf die Basis \(B\) schwach konvergente Teilfolge vorhanden ist.
Definition: Eine Funktionaloperation \(F(\mathfrak e)\) heißt schwach stetig, wenn aus \(\lim \psi_n \sim \psi\) immer lim \(F(\psi_n) \sim F(\psi)\) folgt.
Für diese Begriffe gilt
Satz I\(^\prime\). Ordnet eine schwach stetige Funktionaloperation \(F(\mathfrak e)\) jedem Element der Hypersphäre \(K_M\) mit \(\|\mathfrak e\| \leqq M\) wieder ein Element aus \(K_M\) zu, so gibt es ein \(\mathfrak e_0\) so, daß \(F(\mathfrak e_0) = \mathfrak e_0\) ist.
Anwendungen von Satz I\(^\prime\). 1. Die Integralgleichung für \(z\): \[ z(x, y) = \iint\limits_{\varOmega} f (\xi, \eta, z(\xi, \eta)) G(x, y, \xi, \eta)\, d\xi\, dy \] ist für jedes Gebiet \(\varOmega\) lösbar, wenn \(f\) im ganzen Raum stetig und absolut kleiner als Eins ist.
2. Wird von \(f\) nur verlangt, daß es in einem dreidimensionalen Gebiet stetig ist, so ist die Integralgleichung für hinreichend kleine Gebiete lösbar.
Satz II. Es sei vorausgesetzt:
1. \(F(\mathfrak e)\) ist eine schwach stetige Funktionaloperation, deren Bild ganz zu einem Vektorfeld \(V^\prime\) gehört.
2. \(F\) besitzt an der Stelle \(\mathfrak e_0\) ein (Fréchetsches) Differential \(L(\mathfrak e)\), d. h. \(F(\mathfrak e) = L(\mathfrak e) + R(\mathfrak e)\) mit \(\dfrac{\|R(\mathfrak e)\|}{\|\mathfrak e\|} \to 0\) für \(\|\mathfrak e\| \to 0\), wenn \(\mathfrak e_0 = 0\) und \(F(\mathfrak e_0) = 0\) angenommen wird.
3. Die durch \(L(\mathfrak e)\) dargestellte Abbildung ist eineindeutig und erschöpft das ganze Vektorfeld \(V^\prime\).
4. \(L(\mathfrak e)\) und die inverse Abbildung sind schwach stetig. Dann gibt es in \(V^\prime\) eine gewisse Umgebung des Elementes \(\mathfrak e^\prime_0 = F(\mathfrak e_0)\), die ganz zum Bilde von \(F\) gehört.

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References:
[1] St. Banach, Operations dans les ensembles abstraits, Fundamenta Math.3, S. 135. · JFM 48.0201.01
[2] St. Banach, loc. cit. Satz 5. Operations dans les ensembles abstraits, Fundamenta Math.3, S. 135.
[3] Besondere F?lle dieses Satzes beweisen Birkhoff und Kellog in ihrer Arbeit: Invariant points in function space. Transactions of the Amer. Math. Soc.23 (1922).
[4] Vgl. Encykl. d. Math. Wiss. 2, 3, Heft 3. L. Lichtenstein, Neuere Entwicklung der Potentialtheorie. Konforme Abbildung. S. 286. Relation 3.
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