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La géometrie des groupes de transformations. (French) JFM 53.0388.01
Verf. führt in vorliegender Arbeit Gedankengänge aus, die er gemeinsam mit J. A. Schouten in einer Note in den Proceedings Amsterdam 29 (1926) (F. d. M. 52) veröffentlicht hat. Diese Gedankengänge finden sich übrigens in ähnlicher Art bereits bei L. P. Eisenhart (Proceedings U. S. A. Academy 11 (1925), 246-250; F. d. M. 51). Vermöge einer kontinuierlichen Gruppe definiert er drei Arten von Parallelismen in der Parametermannigfaltigkeit.
Zwei Vektoren heißen parallel 1. (2.) Art, wenn dieselbe Transformation der 2. (1.) Parametergruppe Anfangspunkte und Endpunkte ineinander überführt oder, was dasselbe bedeutet, wenn dieselbe Transformation der 1. (2.) Parametergruppe bei beiden Vektoren Anfangspunkt in Endpunkt überführt. Die Summe von Vektoren erklärt sich dann durch die Zusammensetzung der zugehörigen Transformationen, der inverse Vektor durch die inverse Transformation, der Nullvektor durch die identische Transformation der Gruppe. Für den Parallelismus gilt das transitive, für die Zusammensetzung das assoziative Gesetz. \(ab // cd\) (1. Art) und \(ac // bd\) (2. Art) sind gleichwertige Aussagen, weil \(T_b T_a^{-1} = T_d T_c^{-1}\) mit \(T_a^{-1} T_c = T_b{-1} T_d\) gleichwertig ist. Transitives Gesetz für den 1. Parallelismus und assoziatives für die Summenbildung des 2. sind gleichwertig, usw.
Zu diesen Parallelismen gehören Parallelismen der infinitesimalen Vektoren; das sagt auch der erste Teil des Lieschen ersten Fundamentalsatzes aus: \[ \frac{\partial x_i^\prime}{\partial a_\varrho} = \sum_\beta \psi_\beta^\varrho (a) \, \xi_i^\beta (x^\prime), \qquad \text{(B) } \quad d a^\varrho // \sum_\beta \psi_\beta^\varrho (a) \, \left(da^\beta\right)^0 \quad \text{ (1. Art).} \tag{"}\;\;\;\;\;\;\;(A)" \] Ist umgekehrt eine Schar (C) \(x_i^\prime = f_i (x, a)\) gegeben, die (A) genügt, also ein infinitesimaler Parallelismus (B), und integriert man (B) zunächst wegabhängig, so kann man aus (C) auf die Wegunabhängigkeit schließen. (Zweiter Teil des ersten Fundamentalsatzes.)
Wählt man lokale Bezugssysteme, die parallelen Vektoren dieselben Koordinaten erteilen und im Identitätspunkt mit dem ursprünglichen System zusammenfallen, so erhält \(d a^\varrho\) die Koordinaten nach (B). Benutzt man die vom Verf. früher (F. d. M. 49, 542 (JFM 49.0542.*)) eingeführten Bezeichnungen für die Komponenten des affinen Zusammenhanges, so hat man zu setzen: \(\omega^\varrho = \sum \psi_\alpha^\varrho \, da^\alpha\), \(\omega_\sigma^i = 0\) für den ersten Parallelismus und \(\omega_\sigma^i = \sigma c^i_{\varrho\sigma} \omega^\varrho\) für den zweiten. Dabei bedeuten die \(\omega^\varrho\) die Koordinaten des benachbarten Punktes; die \(\omega_\sigma^i\) geben die Transformation der Vektorkörper an.
Ein dritter infinitesimaler Parallelismus wird als arithmetische Mittelbildung der beiden ersten Parallelismen definiert. Im Gegensatz zu den beiden ersten ist er nicht wegunabhängig (absolut).
Verf. wendet nun seine Begriffsbildungen aus der eben zitierten Arbeit und aus Acta Math. 48 (1926), 1-42 (F. d. M. 52) auf diese Parallelismen an. Die ersten beiden Parallelismen haben wegen ihrer Absolutheit verschwindende Krümmung; schreibt man diese Tatsache für den 2. Parallelismus im Koordinatensystem des ersten, so erhält man den ersten Teil des Lieschen dritten Fundamentalsatzes. Der Krümmungstensor des dritten Parallelismus ist \(\frac 14 \sum c_{\alpha\beta}^\varkappa \, c_{\varkappa\gamma}^\delta\). Die zum Flächenelement X, Y gehörige Torsion ist bei den ersten beiden Parallelismen \((X, Y)\) bzw. – \((X, Y)\); der dritte Parallelismus ist torsionslos. Gegenüber Translationen (Rechts- und Links-Multiplikationen) und Parallelverschiebungen sind Torsion und Krümmungstensor invariant. Die erste Tatsache ist im wesentlichen die Aussage des Lieschen zweiten Fundamentalsatzes. Die Invarianz des Krümmungstensor kann man benutzen, um den verjüngten Krümmungstensor zu Komponenten eines invarianten \(ds^2\) des dritten Parallelismus zu erklären. Bei halbeinfachen Gruppen ist dies \(ds^2\) positiv definit; es ist nämlich im wesentlichen die Cartansche Form \(\varphi(e)\); der zugehörige Riemannsche Raum heißt auch Darstellungsraum der Gruppe. Die torsionslosen Parallelismen mit parallelverschiebungsinvariantem Krümmungstensor sind allgemein der Untersuchung zugänglich; charakteristisch für sie ist, daß die geodätische Spiegelung an einem festen Punkt eine Isomorphie (Invarianz des Parallelismus) ist. Sie lassen sich als total geodätische Mannigfaltigkeiten im dritten Gruppenparallelismus ihrer (stets transitiven) kontinuierlichen Isomorphiegruppe auffassen. Diese Bemerkung läßt weitgehende, interessante Folgerungen zu (vgl. das unmittelbar folgende Referat). Von großer Wichtigkeit ist dabei die Tatsache, daß die total geodätischen Mannigfaltigkeiten aller dieser Parallelismen den linearen Scharen infinitesimaler Transformationen entsprechen, die mit drei Transformationen auch ihren dreifachen Klammerausdruck enthalten. Zu jeder infinitesimalen Transformation gehört natürlich eine geodätische Linie.
Die Holonomiegruppe, die die Transformationen des lokalen Koordinatensystems beim Beschreiben kleiner geschlossener Kurven enthält, ist bei den beiden ersten Parallelismen die abgeleitete der gegebenen Gruppe, angewandt auf die Vektoren. Für den dritten Gruppenparallelismus ist sie die abgeleitete der adjungierten Gruppe. Sie ist eine Untergruppe der Isotropiegruppe, die angibt, wie die Isomorphiegruppe den Vektorkörper eines festen Punktes transformiert. Bei halbeinfachen Gruppen fallen Holonomiegruppe und kontinuierliche Isotropiegruppe zusammen.
Notwendig und hinreichend dafür, daß ein krümmungsfreier Parallelismus ein Gruppenparallelismus 1. (2.) Art ist, ist die Krümmungsfreiheit des zugehörigen 2. (1.) Parallelismus. Beim dritten Gruppenparallelismus tritt an Stelle dieser Forderung die nach der Existenz einer transitiven Isomorphiegruppe.
Zum Schluß wird in üblicher Weise zum Darstellungsraum ein projektiver und konformer Zusammenhang definiert. Es werden die Gruppen bestimmt, deren projektiver Zusammenhang der des projektiven Raumes ist, und es werden Isomorphie- und Holonomiegruppe des projektiven und Holonomiegruppe des konformen Zusammenhangs (bei halbeinfachen Gruppen) berechnet.

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