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Sur certaines formes Riemanniennes remarquables des géométries à groupe fondamental simple. (French) JFM 53.0393.01
Diese Arbeit des Verf. bildet zusammen mit der vorstehend referierten die Fortsetzung der Arbeit des Verfassers aus Bulletin S. M. F. 54 (1926), 214-264; 55 (1927), 114-134 (F. d. M. 53, 390 (JFM 53.0390.*)-391). Dort wurden die Riemannschen Mannigfaltigkeiten mit positiv definitem irreduziblem \(ds^2\) und parallelverschiebungsinvarianter Krümmung untersucht. Diese Räume \(\mathfrak E\) gestatten eine transitive Bewegungsgruppe; in der vorliegenden Arbeit wird sie als einfach angenommen. Dann ist \(\mathfrak E\) eine geodätische Mannigfaltigkeit ihres Darstellungsraumes.
Zunächst werden die nicht unitären Gruppen, also die negativ gekrümmten \(\mathfrak E\) behandelt. Sie entstehen aus den unitären vermöge \(X_\varrho'= iX_\varrho\) (\(\varrho=1,\ldots,r\)); \(Y_\sigma'=Y_\sigma\) (\(\sigma=1,\ldots,n\)). Die \(X\) erzeugen eine geodätische Mannigfaltigkeit im Darstellungsraum der unitären Gruppe (F. d. M. 53, 388 (JFM 53.0388.*)-390). Dieser Mannigfaltigkeit \(\mathfrak E\) wird durch die Einbettung ein positiv definites \(ds^2\) aufgeprägt. Die \(Y\), also auch die \(e^Y\) lassen die Mannigfaltigkeit und die Maßbestimmung im Darstellungsraum, also auch in der Mannigfaltigkeit \(\mathfrak E\) unverändert. Sie erzeugen also isometrische Rotationen um den Identitätspunkt. Weitere Isometrien im Darstellungsraum sind die geodätischen Spiegelungen an festen Punkten, die sich in \(\mathfrak E\) unbeschränkt fortsetzen lassen. Aus zwei Spiegelungen kann man eine Schiebung zusammensetzen, und jede Bewegung in \(\mathfrak E\) läßt sich eindeutig in eine derartige Schiebung und eine Rotation um einen festen Punkt zerlegen. Diese Bewegungsgruppe ist mit der adjungierten der Ausgangsgruppe isomorph. Damit ist der Beweis erbracht, daß die Konstruktion aus Bulletin S. M. F. 55 (F. d. M. 53, 390-391) stets zu einem Raum \(\mathfrak E\) führt, von welcher einfachen Gruppe man auch ausgeht. \(\mathfrak E\) läßt sich auch als Raum der zu den einzelnen Punkten gehörenden Isotropiegruppen deuten.
Aus dieser Deutung folgt, daß jeder nicht mit der Einheit zusammenhängenden Transformation der adjungierten Gruppe, die die Gesamtheit der Isotropiegruppen invariant läßt, eine isometrische Transformation entspricht, die nicht zu den Bewegungen gehört, und umgekehrt. Die Familienzahlen der gemischten Isotropiegruppe und der Isometriegruppe sind also gleich. \(\mathfrak E\) ist einfach zusammenhängend, weil die Eigenwerte der Matrizen \(e^X\) reell und die infinitesimalen Matrizen durch die endlichen daher eindeutig bestimmt sind. Jede Transformation der adjungierten Gruppe zerfällt nach obigem eindeutig in Schiebung und Drehung; der Raum der Drehungen ist einfach zusammenhängend, also stimmt die Wegegruppe der adjungierten mit der der Isotropiegruppe überein. Diese Wegegruppe zerfällt im schwierigsten Fall in eine endliche und eine zyklisch unendliche.
Die Darstellung der einparametrigen Untergruppen der adjungierten Gruppe, die zu den \(X\) gehören, sind die geodätischen Linien in \(\mathfrak E\); je zwei Punkte von \(\mathfrak E\) sind geodätisch eindeutig verbindbar. Den maximalen Abelschen Untergruppen entsprechen ebenso maximale euklidische Mannigfaltigkeiten, deren Gesamtheit bewegungsinvariant ist, und die den ganzen Raum ausfüllt. Den singulären \(X\) entsprechen Punkte, die mehreren dieser Mannigfaltigkeiten angehören.
Damit schließt Verf. das erste Kapitel. Im zweiten werden für sämtliche Gruppentypen die zugehörigen Räume \(\mathfrak E\) veranschaulicht, die maximalen total geodätischen euklidischen Unterräume untersucht, die Wegegruppen und gemischten adjungierten und Isotropiegruppen berechnet.
Im dritten Kapitel werden die Überlegungen des ersten auf die positiv gekrümmten Räume übertragen. Einige Schwierigkeiten entstehen dadurch, daß im Darstellungsraum der unitären Gruppe die infinitesimale Transformation durch die endliche im allgemeinen nicht eindeutig festgelegt wird. Man gelangt aber unter Verwendung Weylscher Gedankengänge (M. Z. 24 (1925)) zum Ziel. Die Fortsetzbarkeit der Metrik in \(\mathfrak E\) wird durch die Vermeidbarkeit der \((n-2)\)-dimensionalen singulären Gruppenelemente gewährleistet. \(\mathfrak E\) ist natürlich nicht mehr einfach zusammenhängend. Es läßt sich aber zu jeder endlichen Matrix eindeutig eine infinitesimale aus dem Fundamentalpolyeder der Weylschen Gruppe \(S\) im Winkelparameterraum bestimmen. Dabei sind die Winkelparameter bis auf den Faktor \(2\pi i\) die nicht identisch verschwindenden Wurzeln der infinitesimalen Matrix; das Fundamcntalpolyeder wird von den Nullebenen der Winkelparameter begrenzt; \(S\) enthält die Spiegelungen an seinen Wänden. Liegt im Polyeder nur ein Punkt des Gitters der ganzzahligen Winkelparameter, so ist \(\mathfrak E\) einfach zusammenhängend. Die Zahl der etwa in ihm liegenden Gitterecken bestimmt den Zusammenhang von \(\mathfrak E\). An der Familienzahl der adjungierten und der Isotropiegruppe ändert sich gegen früher nichts; da aber die eindeutige Zerlegung einer Isometrie in Isotropie und Schiebung und der einfache Zusammenhang wegfällt, kann die Familienzahl der Isometriegruppe abnehmen. Da ferner die euklidischen Untermannigfaltigkeiten nur noch im Kleinen euklidisch sind, geht auch die Eindeutigkeit der geodätischen Verbindbarkeit im allgemeinen verloren; es gibt “antipodische” Mannigfaltigkeiten eines Punktes, deren Punkte sich mit ihm nicht durch isolierte geodätische Linien verbinden lassen.
Genau wie im 2. Kapitel untersucht Verf. wiederum bei den unitären Typen die Auswirkungen der angeführten Begriffsbildungen.

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