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A comparision of the series of Fourier and Birkhoff. (English) JFM 53.0419.03
Gegeben sei die lineare Differentialgleichung \[ u^{(n)} + p_2u^{(n-2)}+ \cdots + p_{n-1}u' + (p_n + \lambda) u = 0, \] in der die \(p_{\nu}\) auf dem Intervall \(<0,1>\) reelle oder komplexe summierbare Funktionen von \(x\) bedeuten und \(\lambda\) ein reeller Parameter ist. Ferner sind \(n\) Randbedingungen \[ W_{\nu} (u) = \alpha_\nu u^{(k_\nu)}(\varPhi)+\beta _\nu u^{(k_\nu)}(1)+\cdots \quad\quad (\nu=1,2,\ldots,n), \] \[ n - 1 \geqq k_1\geqq k_2\geqq \cdots \geqq k_n, \;k_\nu\neq k_{\nu+2} \] gegeben; die \(a_\nu\) und \(\beta_\nu\) unterliegen gewissen Bedingungen entsprechend der von Birkhoff (Transactions A. M. S. 9 (1908), 373-395, insbesondere p. 383; F. d. M. 39, 386 (JFM 39.0386.*)-387) gegebenen Definition der Regularität. Die Entwicklung einer summierbaren Funktion nach den Eigenfunktionen eines solchen Problems nennt Verf. eine Birkhoffsche Reihe. Es gilt der folgende Fundamentalsatz: Die gliedweise Differenz zweier formaler Birkhoffscher Reihen konvergiert in \(< 0, 1 >\) gleichmäßig gegen Null, wenn die Randbedingungen auf Normalformen gebracht werden können, für die \[ \alpha_\nu=\overline{\alpha}_\nu, \;\beta_\nu=\overline{\beta}_\nu, \;k_\nu=\overline{k}_\nu, \quad (\nu=1, 2, \ldots, n) \] ist. Dieser Satz gestattet, die Eigenschaften der Birkhoffschen Reihen mit denen der Fourierreihen für summierbare Funktionen zu vergleichen, ebenso wie die der \(k\)-mal formal differenzierten Reihen.

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