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A characteristic property of certain sets of trigonometric functions. (English) JFM 53.0423.01
Die reellen Funktionen \(u_n(x)\) mögen auf \(<0,1>\) ein abgeschlossenes Orthogonalsystem bilden, das einer der folgenden Randbedingungen genügt: \[ \begin{aligned} u_n(0)= & u_n(1) = 0,\tag{1}\\ {u'}_n(0)= & u'_n(1) = 0,\tag{2}\\ u_n(0)- &u_n(1) = u'_n(0) - u'_n(1)=0,\tag{3}\\ u_n(0)+ &u_n(1) = u'_n(0) + u'_n(1) = 0,\tag{4}\\ \alpha _1u_n(0) -\beta _1&u_n(1) = \alpha _2{u'}_n(0) - \beta_2{u'}_n(1) = 0,\quad \alpha_2^2\neq \beta_2^2.\tag{5} \end{aligned} \]
Verf. beweist: Sind die Funktionen \(u_n(x)\) ferner so beschaffen, daß die ersten Ableitungen ein Orthogonalsystem bilden: \[ \int\limits^1_0 u'_m (x) u'_n (x)\,dx = 0\;\;\text{für} \;\;m \neq n, \] und daß die Integrale \[ \int\limits^1_0\{{u''}_{\kern-1mm{}n\kern2mm}\!\!(x)\}^2\,dx \] für alle \(n\) existieren, dann sind die \(u_n(x)\) identisch mit den Orthogonalfunktionen, die sich aus der Gleichung \[ u'' + \varrho^2u = 0 \] mit geeigneten Randbedingungen ergeben.
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